---

Step * 1 2 2 2 2 of Lemma rv-circle-circle-lemma3'


1. a : ℝ^2
2. b : ℝ^2
3. c : ℝ^2
4. d : ℝ^2
5. p : {p:ℝ^2| d(a;b) = d(a;p)} 
6. q : {q:ℝ^2| d(c;d) = d(c;q)} 
7. i : {x:ℝ^2| (d(c;p) = d(c;x)) ∧ (¬(c ≠ x ∧ x ≠ d ∧ (¬c-x-d)))} 
8. o : {y:ℝ^2| (d(a;q) = d(a;y)) ∧ (¬(a ≠ y ∧ y ≠ b ∧ (¬a-y-b)))} 
9. a ≠ c
10. d(c;p) = d(c;i)
11. ¬(c ≠ i ∧ i ≠ d ∧ (¬c-i-d))
12. d(a;q) = d(a;o)
13. ¬(a ≠ o ∧ o ≠ b ∧ (¬a-o-b))
14. ∀x,y,z:ℝ^2.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))
15. d(c;p) ≤ d(c;d)
16. d(a;q) ≤ d(a;b)
17. u : ℝ^2
18. v : ℝ^2
19. ||u|| = d(a;b)
20. ||u - c - a|| = d(c;d)
21. ||v|| = d(a;b)
22. ||v - c - a|| = d(c;d)
23. ((d(a;b)^2 - d(c;d)^2) + ||c - a||^2^2 < (r(4) * ||c - a||^2 * d(a;b)^2))
⇒ (r2-left(u;c - a;λi.r0) ∧ r2-left(v;λi.r0;c - a))
24. d(a;b) = d(a;u + a)
⊢ ||u + a - c|| = d(c;d)
BY
{ ((Assert req-vec(2;u + a - c;u - c - a) BY
          ((RepUR ``req-vec real-vec-add real-vec-sub`` 0 THEN Auto) THEN nRNorm 0 THEN Auto))
   THEN RWO "-1" 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}\^{}2
2.  b  :  \mBbbR{}\^{}2
3.  c  :  \mBbbR{}\^{}2
4.  d  :  \mBbbR{}\^{}2
5.  p  :  \{p:\mBbbR{}\^{}2|  d(a;b)  =  d(a;p)\} 
6.  q  :  \{q:\mBbbR{}\^{}2|  d(c;d)  =  d(c;q)\} 
7.  i  :  \{x:\mBbbR{}\^{}2|  (d(c;p)  =  d(c;x))  \mwedge{}  (\mneg{}(c  \mneq{}  x  \mwedge{}  x  \mneq{}  d  \mwedge{}  (\mneg{}c-x-d)))\} 
8.  o  :  \{y:\mBbbR{}\^{}2|  (d(a;q)  =  d(a;y))  \mwedge{}  (\mneg{}(a  \mneq{}  y  \mwedge{}  y  \mneq{}  b  \mwedge{}  (\mneg{}a-y-b)))\} 
9.  a  \mneq{}  c
10.  d(c;p)  =  d(c;i)
11.  \mneg{}(c  \mneq{}  i  \mwedge{}  i  \mneq{}  d  \mwedge{}  (\mneg{}c-i-d))
12.  d(a;q)  =  d(a;o)
13.  \mneg{}(a  \mneq{}  o  \mwedge{}  o  \mneq{}  b  \mwedge{}  (\mneg{}a-o-b))
14.  \mforall{}x,y,z:\mBbbR{}\^{}2.    (d(x;y)  =  d(x;z)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  ||z  -  x||  =  d(x;y))
15.  d(c;p)  \mleq{}  d(c;d)
16.  d(a;q)  \mleq{}  d(a;b)
17.  u  :  \mBbbR{}\^{}2
18.  v  :  \mBbbR{}\^{}2
19.  ||u||  =  d(a;b)
20.  ||u  -  c  -  a||  =  d(c;d)
21.  ||v||  =  d(a;b)
22.  ||v  -  c  -  a||  =  d(c;d)
23.  ((d(a;b)\^{}2  -  d(c;d)\^{}2)  +  ||c  -  a||\^{}2\^{}2  <  (r(4)  *  ||c  -  a||\^{}2  *  d(a;b)\^{}2))
{}\mRightarrow{}  (r2-left(u;c  -  a;\mlambda{}i.r0)  \mwedge{}  r2-left(v;\mlambda{}i.r0;c  -  a))
24.  d(a;b)  =  d(a;u  +  a)
\mvdash{}  ||u  +  a  -  c||  =  d(c;d)


By

---

Latex:
((Assert  req-vec(2;u  +  a  -  c;u  -  c  -  a)  BY
                ((RepUR  ``req-vec  real-vec-add  real-vec-sub``  0  THEN  Auto)  THEN  nRNorm  0  THEN  Auto))
  THEN  RWO  "-1"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index