---

Step * 2 of Lemma rv-circle-circle-lemma


1. n : ℕ
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : ℝ^n
5. r0 < ||b||
6. b' : ℝ^n
7. b⋅b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. cc : ℝ
10. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
11. cc^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
⊢ ∀x:ℝ^n
    ((req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)*b')
    ∨ req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)*b'))
    ⇒ ((||x|| = r1) ∧ (||x - b|| = r2)))
BY
{ ((Assert r0 < ||b||^2 BY
          (BLemma `rnexp-positive` THEN Auto))
   THEN (GenConclTerm ⌜rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 ((D 0 THENA Auto))
   THEN (RWO "square-req-iff" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO  "real-vec-norm-squared" 0 THENA Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. r1 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
3. r2 : {r:ℝ| r0 ≤ r} 
4. b : ℝ^n
5. r0 < ||b||
6. b' : ℝ^n
7. b⋅b' = r0
8. ||b'|| = ||b||
9. cc : ℝ
10. ((r1^2 - r2^2) + ||b||^2) = cc ∈ ℝ
11. cc^2 ≤ (r(4) * ||b||^2 * r1^2)
12. r0 ≤ ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2)
13. r0 < ||b||^2
14. v : {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
15. rsqrt((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2) = v ∈ {r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ ((r * r) = ((||b||^2 * r1^2) - (cc/r(2))^2))} 
16. x : ℝ^n
17. req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b + v*b') ∨ req-vec(n;x;(r1/||b||^2)*(cc/r(2))*b - v*b')
⊢ (x⋅x = r1^2) ∧ (x - b⋅x - b = r2^2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  r1  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
3.  r2  :  \{r:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  r\} 
4.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  r0  <  ||b||
6.  b'  :  \mBbbR{}\^{}n
7.  b\mcdot{}b'  =  r0
8.  ||b'||  =  ||b||
9.  cc  :  \mBbbR{}
10.  ((r1\^{}2  -  r2\^{}2)  +  ||b||\^{}2)  =  cc
11.  cc\^{}2  \mleq{}  (r(4)  *  ||b||\^{}2  *  r1\^{}2)
12.  r0  \mleq{}  ((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)
\mvdash{}  \mforall{}x:\mBbbR{}\^{}n
        ((req-vec(n;x;(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  +  rsqrt((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)*b')
        \mvee{}  req-vec(n;x;(r1/||b||\^{}2)*(cc/r(2))*b  -  rsqrt((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)*b'))
        {}\mRightarrow{}  ((||x||  =  r1)  \mwedge{}  (||x  -  b||  =  r2)))


By

---

Latex:
((Assert  r0  <  ||b||\^{}2  BY
                (BLemma  `rnexp-positive`  THEN  Auto))
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}rsqrt((||b||\^{}2  *  r1\^{}2)  -  (cc/r(2))\^{}2)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  (RWO  "square-req-iff"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO    "real-vec-norm-squared"  0  THENA  Auto))

---

Home Index