---

Step * 2 2 5 of Lemma rv-compass-compass-lemma


1. a : ℝ^2
2. b : ℝ^2
3. c : ℝ^2
4. d : ℝ^2
5. a ≠ c
6. ↓∃p,q:ℝ^2. (((d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;q))) ∧ (d(c;p) ≤ d(c;d)) ∧ (d(a;q) ≤ d(a;b)))
7. u : ℝ^2
8. v : ℝ^2
9. ||u|| = d(a;b)
10. ||u - c - a|| = d(c;d)
11. ||v|| = d(a;b)
12. ||v - c - a|| = d(c;d)
13. ((d(a;b)^2 - d(c;d)^2) + ||c - a||^2^2 < (r(4) * ||c - a||^2 * d(a;b)^2))
⇒ (r2-left(u;c - a;λi.r0) ∧ r2-left(v;λi.r0;c - a))
14. ∀x,y,z:ℝ^2.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))
⊢ (↓∃p,q:ℝ^2. (((d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;q))) ∧ (d(c;p) < d(c;d)) ∧ (d(a;q) < d(a;b))))
⇒ (r2-left(u + a;c;a) ∧ r2-left(v + a;a;c))
BY
{ ParallelOp -2 }

1
.....antecedent..... 
1. a : ℝ^2
2. b : ℝ^2
3. c : ℝ^2
4. d : ℝ^2
5. a ≠ c
6. ↓∃p,q:ℝ^2. (((d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;q))) ∧ (d(c;p) ≤ d(c;d)) ∧ (d(a;q) ≤ d(a;b)))
7. u : ℝ^2
8. v : ℝ^2
9. ||u|| = d(a;b)
10. ||u - c - a|| = d(c;d)
11. ||v|| = d(a;b)
12. ||v - c - a|| = d(c;d)
13. ∀x,y,z:ℝ^2.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))
14. ↓∃p,q:ℝ^2. (((d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;q))) ∧ (d(c;p) < d(c;d)) ∧ (d(a;q) < d(a;b)))
⊢ (d(a;b)^2 - d(c;d)^2) + ||c - a||^2^2 < (r(4) * ||c - a||^2 * d(a;b)^2)

2
1. a : ℝ^2
2. b : ℝ^2
3. c : ℝ^2
4. d : ℝ^2
5. a ≠ c
6. ↓∃p,q:ℝ^2. (((d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;q))) ∧ (d(c;p) ≤ d(c;d)) ∧ (d(a;q) ≤ d(a;b)))
7. u : ℝ^2
8. v : ℝ^2
9. ||u|| = d(a;b)
10. ||u - c - a|| = d(c;d)
11. ||v|| = d(a;b)
12. ||v - c - a|| = d(c;d)
13. ∀x,y,z:ℝ^2.  (d(x;y) = d(x;z) ⇐⇒ ||z - x|| = d(x;y))
14. ↓∃p,q:ℝ^2. (((d(a;b) = d(a;p)) ∧ (d(c;d) = d(c;q))) ∧ (d(c;p) < d(c;d)) ∧ (d(a;q) < d(a;b)))
15. r2-left(u;c - a;λi.r0) ∧ r2-left(v;λi.r0;c - a)
⊢ r2-left(u + a;c;a) ∧ r2-left(v + a;a;c)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}\^{}2
2.  b  :  \mBbbR{}\^{}2
3.  c  :  \mBbbR{}\^{}2
4.  d  :  \mBbbR{}\^{}2
5.  a  \mneq{}  c
6.  \mdownarrow{}\mexists{}p,q:\mBbbR{}\^{}2.  (((d(a;b)  =  d(a;p))  \mwedge{}  (d(c;d)  =  d(c;q)))  \mwedge{}  (d(c;p)  \mleq{}  d(c;d))  \mwedge{}  (d(a;q)  \mleq{}  d(a;b)))
7.  u  :  \mBbbR{}\^{}2
8.  v  :  \mBbbR{}\^{}2
9.  ||u||  =  d(a;b)
10.  ||u  -  c  -  a||  =  d(c;d)
11.  ||v||  =  d(a;b)
12.  ||v  -  c  -  a||  =  d(c;d)
13.  ((d(a;b)\^{}2  -  d(c;d)\^{}2)  +  ||c  -  a||\^{}2\^{}2  <  (r(4)  *  ||c  -  a||\^{}2  *  d(a;b)\^{}2))
{}\mRightarrow{}  (r2-left(u;c  -  a;\mlambda{}i.r0)  \mwedge{}  r2-left(v;\mlambda{}i.r0;c  -  a))
14.  \mforall{}x,y,z:\mBbbR{}\^{}2.    (d(x;y)  =  d(x;z)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  ||z  -  x||  =  d(x;y))
\mvdash{}  (\mdownarrow{}\mexists{}p,q:\mBbbR{}\^{}2.  (((d(a;b)  =  d(a;p))  \mwedge{}  (d(c;d)  =  d(c;q)))  \mwedge{}  (d(c;p)  <  d(c;d))  \mwedge{}  (d(a;q)  <  d(a;b))))
{}\mRightarrow{}  (r2-left(u  +  a;c;a)  \mwedge{}  r2-left(v  +  a;a;c))


By

---

Latex:
ParallelOp  -2

---

Home Index