---

Step * 1 1 1 2 1 of Lemma rv-line-circle-0


1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. p : ℝ^n
5. q : ℝ^n
6. p ≠ q
7. d(a;p) ≤ d(a;b)
8. d(a;b) ≤ d(a;q)
9. pp : ℝ^n
10. p - a = pp ∈ ℝ^n
11. qq : ℝ^n
12. q - a = qq ∈ ℝ^n
13. (d(a;p) < d(a;b)) ⇒ (||pp|| < d(a;b))
14. ||pp|| ≤ d(a;b)
15. (d(a;b) < d(a;q)) ⇒ (d(a;b) < ||qq||)
16. d(a;b) ≤ ||qq||
17. pp ≠ qq
18. r0 < ||qq - pp||
19. r0 < ||qq - pp||^2
20. r0 ≤ (((r(2) * pp⋅qq - pp) * r(2) * pp⋅qq - pp) - r(4) * ||qq - pp||^2 * (||pp||^2 - d(a;b)^2))
21. ||pp + quadratic1(||qq - pp||^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2)*qq - pp|| = d(a;b)
22. ||pp + quadratic2(||qq - pp||^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2)*qq - pp|| = d(a;b)
23. quadratic1(||qq - pp||^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2) ∈ [r0, r1]
24. ∀X:ℝ^n. req-vec(n;pp + X;p + X - a)
⊢ ∃u:{u:ℝ^n| ab=au} 
   (real-vec-be(n;q;u;p)
   ∧ (∃v:{v:ℝ^n| ab=av} 
       (real-vec-be(n;q;p;v)
       ∧ ((d(a;p) < d(a;b)) ⇒ (q-p-v ∧ ((d(a;b) < d(a;q)) ⇒ q-u-p)))
       ∧ ((d(a;p) = d(a;b))
         ⇒ ((u ≠ v ⇒ ((req-vec(n;u;p) ∧ (r0 < pp⋅q - p)) ∨ (req-vec(n;v;p) ∧ (pp⋅q - p < r0))))
            ∧ (req-vec(n;u;v) ⇒ ((pp⋅q - p = r0) ∧ req-vec(n;u;p))))))))
BY
{ (((RWO  "-1" (-4) THENA Auto)
    THEN Fold `real-vec-dist` (-4)
    THEN (RW (AddrC [1] (LemmaC `real-vec-dist-symmetry`)) (-4) THENA Auto))
   THEN ((RWO  "-1" (-3) THENA Auto)
         THEN Fold `real-vec-dist` (-3)
         THEN (RW (AddrC [1] (LemmaC `real-vec-dist-symmetry`)) (-3) THENA Auto))
   THEN Unfold `rv-congruent` 0) }

1
1. n : ℕ
2. a : ℝ^n
3. b : ℝ^n
4. p : ℝ^n
5. q : ℝ^n
6. p ≠ q
7. d(a;p) ≤ d(a;b)
8. d(a;b) ≤ d(a;q)
9. pp : ℝ^n
10. p - a = pp ∈ ℝ^n
11. qq : ℝ^n
12. q - a = qq ∈ ℝ^n
13. (d(a;p) < d(a;b)) ⇒ (||pp|| < d(a;b))
14. ||pp|| ≤ d(a;b)
15. (d(a;b) < d(a;q)) ⇒ (d(a;b) < ||qq||)
16. d(a;b) ≤ ||qq||
17. pp ≠ qq
18. r0 < ||qq - pp||
19. r0 < ||qq - pp||^2
20. r0 ≤ (((r(2) * pp⋅qq - pp) * r(2) * pp⋅qq - pp) - r(4) * ||qq - pp||^2 * (||pp||^2 - d(a;b)^2))
21. d(a;p + quadratic1(d(qq;pp)^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2)*qq - pp) = d(a;b)
22. d(a;p + quadratic2(d(qq;pp)^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2)*qq - pp) = d(a;b)
23. quadratic1(||qq - pp||^2;r(2) * pp⋅qq - pp;||pp||^2 - d(a;b)^2) ∈ [r0, r1]
24. ∀X:ℝ^n. req-vec(n;pp + X;p + X - a)
⊢ ∃u:{u:ℝ^n| d(a;b) = d(a;u)} 
   (real-vec-be(n;q;u;p)
   ∧ (∃v:{v:ℝ^n| d(a;b) = d(a;v)} 
       (real-vec-be(n;q;p;v)
       ∧ ((d(a;p) < d(a;b)) ⇒ (q-p-v ∧ ((d(a;b) < d(a;q)) ⇒ q-u-p)))
       ∧ ((d(a;p) = d(a;b))
         ⇒ ((u ≠ v ⇒ ((req-vec(n;u;p) ∧ (r0 < pp⋅q - p)) ∨ (req-vec(n;v;p) ∧ (pp⋅q - p < r0))))
            ∧ (req-vec(n;u;v) ⇒ ((pp⋅q - p = r0) ∧ req-vec(n;u;p))))))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  b  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  p  :  \mBbbR{}\^{}n
5.  q  :  \mBbbR{}\^{}n
6.  p  \mneq{}  q
7.  d(a;p)  \mleq{}  d(a;b)
8.  d(a;b)  \mleq{}  d(a;q)
9.  pp  :  \mBbbR{}\^{}n
10.  p  -  a  =  pp
11.  qq  :  \mBbbR{}\^{}n
12.  q  -  a  =  qq
13.  (d(a;p)  <  d(a;b))  {}\mRightarrow{}  (||pp||  <  d(a;b))
14.  ||pp||  \mleq{}  d(a;b)
15.  (d(a;b)  <  d(a;q))  {}\mRightarrow{}  (d(a;b)  <  ||qq||)
16.  d(a;b)  \mleq{}  ||qq||
17.  pp  \mneq{}  qq
18.  r0  <  ||qq  -  pp||
19.  r0  <  ||qq  -  pp||\^{}2
20.  r0  \mleq{}  (((r(2)  *  pp\mcdot{}qq  -  pp)  *  r(2)  *  pp\mcdot{}qq  -  pp)  -  r(4)  *  ||qq  -  pp||\^{}2  *  (||pp||\^{}2  -  d(a;b)\^{}2))
21.  ||pp  +  quadratic1(||qq  -  pp||\^{}2;r(2)  *  pp\mcdot{}qq  -  pp;||pp||\^{}2  -  d(a;b)\^{}2)*qq  -  pp||  =  d(a;b)
22.  ||pp  +  quadratic2(||qq  -  pp||\^{}2;r(2)  *  pp\mcdot{}qq  -  pp;||pp||\^{}2  -  d(a;b)\^{}2)*qq  -  pp||  =  d(a;b)
23.  quadratic1(||qq  -  pp||\^{}2;r(2)  *  pp\mcdot{}qq  -  pp;||pp||\^{}2  -  d(a;b)\^{}2)  \mmember{}  [r0,  r1]
24.  \mforall{}X:\mBbbR{}\^{}n.  req-vec(n;pp  +  X;p  +  X  -  a)
\mvdash{}  \mexists{}u:\{u:\mBbbR{}\^{}n|  ab=au\} 
      (real-vec-be(n;q;u;p)
      \mwedge{}  (\mexists{}v:\{v:\mBbbR{}\^{}n|  ab=av\} 
              (real-vec-be(n;q;p;v)
              \mwedge{}  ((d(a;p)  <  d(a;b))  {}\mRightarrow{}  (q-p-v  \mwedge{}  ((d(a;b)  <  d(a;q))  {}\mRightarrow{}  q-u-p)))
              \mwedge{}  ((d(a;p)  =  d(a;b))
                  {}\mRightarrow{}  ((u  \mneq{}  v  {}\mRightarrow{}  ((req-vec(n;u;p)  \mwedge{}  (r0  <  pp\mcdot{}q  -  p))  \mvee{}  (req-vec(n;v;p)  \mwedge{}  (pp\mcdot{}q  -  p  <  r0))))
                        \mwedge{}  (req-vec(n;u;v)  {}\mRightarrow{}  ((pp\mcdot{}q  -  p  =  r0)  \mwedge{}  req-vec(n;u;p))))))))


By

---

Latex:
(((RWO    "-1"  (-4)  THENA  Auto)
    THEN  Fold  `real-vec-dist`  (-4)
    THEN  (RW  (AddrC  [1]  (LemmaC  `real-vec-dist-symmetry`))  (-4)  THENA  Auto))
  THEN  ((RWO    "-1"  (-3)  THENA  Auto)
              THEN  Fold  `real-vec-dist`  (-3)
              THEN  (RW  (AddrC  [1]  (LemmaC  `real-vec-dist-symmetry`))  (-3)  THENA  Auto))
  THEN  Unfold  `rv-congruent`  0)

---

Home Index