---

Step * 1 1 1 of Lemma rv-pos-angle-implies-separated


1. n : ℕ
2. x : ℝ^n
3. y : ℝ^n
4. |x⋅y| < (||x|| * ||y||)
5. |x⋅y|^2 < ||x|| * ||y||^2
⊢ r0 < ((||x||^2 + ||y||^2) + (r(-2) * x⋅y))
BY
{ ((RWO "rnexp-rmul rabs-rnexp<" (-1) THENA Auto)
   THEN (RWO "rabs-of-nonneg" (-1) THENA Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (Assert (r0 ≤ ||x||^2) ∧ (r0 ≤ ||y||^2) BY
               Auto)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConcl ⌜||x||^2 = a ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜||y||^2 = b ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜x⋅y = c ∈ ℝ⌝⋅ THENA Auto)
   THEN All Thin
   THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. c : ℝ
4. r0 ≤ a
5. r0 ≤ b
6. c^2 < (a * b)
⊢ r0 < ((a + b) + (r(-2) * c))

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  x  :  \mBbbR{}\^{}n
3.  y  :  \mBbbR{}\^{}n
4.  |x\mcdot{}y|  <  (||x||  *  ||y||)
5.  |x\mcdot{}y|\^{}2  <  ||x||  *  ||y||\^{}2
\mvdash{}  r0  <  ((||x||\^{}2  +  ||y||\^{}2)  +  (r(-2)  *  x\mcdot{}y))


By

---

Latex:
((RWO  "rnexp-rmul  rabs-rnexp<"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "rabs-of-nonneg"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (Assert  (r0  \mleq{}  ||x||\^{}2)  \mwedge{}  (r0  \mleq{}  ||y||\^{}2)  BY
                          Auto)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}||x||\^{}2  =  a\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}||y||\^{}2  =  b\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}x\mcdot{}y  =  c\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  All  Thin
  THEN  Auto)

---

Home Index