---

Step * 1 of Lemma second-deriv-nonpos-concave


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. g : I ⟶ℝ
5. h : I ⟶ℝ
6. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))
7. d(f x)/dx = λx.g x on I
8. d(g x)/dx = λx.h x on I
9. ∀x:{a:ℝ| a ∈ I} . ((h x) ≤ r0)
10. convex-on(I;x.-(f x))
⊢ concave-on(I;x.f x)
BY
{ (D 0 THEN Auto) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. g : I ⟶ℝ
5. h : I ⟶ℝ
6. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))
7. d(f x)/dx = λx.g x on I
8. d(g x)/dx = λx.h x on I
9. ∀x:{a:ℝ| a ∈ I} . ((h x) ≤ r0)
10. convex-on(I;x.-(f x))
11. x : ℝ
12. y : ℝ
13. t : ℝ
14. x ∈ I
15. y ∈ I
16. t ∈ [r0, r1]
⊢ ((t * (f x)) + ((r1 - t) * (f y))) ≤ (f ((t * x) + ((r1 - t) * y)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  h  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))
7.  d(f  x)/dx  =  \mlambda{}x.g  x  on  I
8.  d(g  x)/dx  =  \mlambda{}x.h  x  on  I
9.  \mforall{}x:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  ((h  x)  \mleq{}  r0)
10.  convex-on(I;x.-(f  x))
\mvdash{}  concave-on(I;x.f  x)


By

---

Latex:
(D  0  THEN  Auto)

---

Home Index