---

Step * 1 1 of Lemma second-deriv-nonpos-concave


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : I ⟶ℝ
4. g : I ⟶ℝ
5. h : I ⟶ℝ
6. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((h x) = (h y)))
7. d(f x)/dx = λx.g x on I
8. d(g x)/dx = λx.h x on I
9. ∀x:{a:ℝ| a ∈ I} . ((h x) ≤ r0)
10. convex-on(I;x.-(f x))
11. x : ℝ
12. y : ℝ
13. t : ℝ
14. x ∈ I
15. y ∈ I
16. t ∈ [r0, r1]
⊢ ((t * (f x)) + ((r1 - t) * (f y))) ≤ (f ((t * x) + ((r1 - t) * y)))
BY
{ ((Assert (t * x) + ((r1 - t) * y) ∈ I BY
          (BLemma `i-member-convex` THEN Auto))
   THEN (D -8 With ⌜x⌝  THENA Auto)
   THEN InstHyp [⌜y⌝;⌜t⌝] (-1)⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  h  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((h  x)  =  (h  y)))
7.  d(f  x)/dx  =  \mlambda{}x.g  x  on  I
8.  d(g  x)/dx  =  \mlambda{}x.h  x  on  I
9.  \mforall{}x:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  ((h  x)  \mleq{}  r0)
10.  convex-on(I;x.-(f  x))
11.  x  :  \mBbbR{}
12.  y  :  \mBbbR{}
13.  t  :  \mBbbR{}
14.  x  \mmember{}  I
15.  y  \mmember{}  I
16.  t  \mmember{}  [r0,  r1]
\mvdash{}  ((t  *  (f  x))  +  ((r1  -  t)  *  (f  y)))  \mleq{}  (f  ((t  *  x)  +  ((r1  -  t)  *  y)))


By

---

Latex:
((Assert  (t  *  x)  +  ((r1  -  t)  *  y)  \mmember{}  I  BY
                (BLemma  `i-member-convex`  THEN  Auto))
  THEN  (D  -8  With  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}t\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index