---

Step * 2 1 of Lemma series-diverges-rmul


1. [x] : ℕ ⟶ ℝ
2. e : ℝ
3. r0 < e
4. ∀k:ℕ. ∃m,n:ℕ. ((k ≤ m) ∧ (k ≤ n) ∧ (e ≤ |Σ{x[i] | 0≤i≤m} - Σ{x[i] | 0≤i≤n}|))
5. c : ℝ
6. c ≠ r0
7. r0 < (|c| * e)
8. k : ℕ
9. m : ℕ
10. n : ℕ
11. k ≤ m
12. k ≤ n
13. e ≤ |Σ{x[i] | 0≤i≤m} - Σ{x[i] | 0≤i≤n}|
⊢ (|c| * e) ≤ |Σ{c * x[i] | 0≤i≤m} - Σ{c * x[i] | 0≤i≤n}|
BY
{ (RWO "rsum_linearity2" 0 THENA Auto) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. e : ℝ
3. r0 < e
4. ∀k:ℕ. ∃m,n:ℕ. ((k ≤ m) ∧ (k ≤ n) ∧ (e ≤ |Σ{x[i] | 0≤i≤m} - Σ{x[i] | 0≤i≤n}|))
5. c : ℝ
6. c ≠ r0
7. r0 < (|c| * e)
8. k : ℕ
9. m : ℕ
10. n : ℕ
11. k ≤ m
12. k ≤ n
13. e ≤ |Σ{x[i] | 0≤i≤m} - Σ{x[i] | 0≤i≤n}|
⊢ (|c| * e) ≤ |(c * Σ{x[i] | 0≤i≤m}) - c * Σ{x[i] | 0≤i≤n}|

---

Latex:

---

Latex:

1.  [x]  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  e  :  \mBbbR{}
3.  r0  <  e
4.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mexists{}m,n:\mBbbN{}.  ((k  \mleq{}  m)  \mwedge{}  (k  \mleq{}  n)  \mwedge{}  (e  \mleq{}  |\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}  -  \mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}|))
5.  c  :  \mBbbR{}
6.  c  \mneq{}  r0
7.  r0  <  (|c|  *  e)
8.  k  :  \mBbbN{}
9.  m  :  \mBbbN{}
10.  n  :  \mBbbN{}
11.  k  \mleq{}  m
12.  k  \mleq{}  n
13.  e  \mleq{}  |\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}  -  \mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}|
\mvdash{}  (|c|  *  e)  \mleq{}  |\mSigma{}\{c  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}m\}  -  \mSigma{}\{c  *  x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}|


By

---

Latex:
(RWO  "rsum\_linearity2"  0  THENA  Auto)

---

Home Index