---

Step * 2 2 1 1 of Lemma sine-poly-approx-1


1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i} - sine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. n : ℕ
11. 0 ≤ n
12. r0 ≤ (x^(2 * n) + 1)/((2 * n) + 1)!
13. M : ℕ+
14. ((2 * n) + 1)! = M ∈ ℕ+
15. A : ℕ+
16. ((2 * n) + 3) = A ∈ ℕ+
17. B : ℕ+
18. ((2 * n) + 2) = B ∈ ℕ+
⊢ (x^(2 * (n + 1)) + 1)/A * B * M ≤ (x^(2 * n) + 1)/M
BY
{ ((Subst' (2 * (n + 1)) + 1 ~ ((2 * n) + 1) + 2 0 THENA Auto) THEN (GenConcl ⌜((2 * n) + 1) = i ∈ ℕ⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i} - sine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. n : ℕ
11. 0 ≤ n
12. r0 ≤ (x^(2 * n) + 1)/((2 * n) + 1)!
13. M : ℕ+
14. ((2 * n) + 1)! = M ∈ ℕ+
15. A : ℕ+
16. ((2 * n) + 3) = A ∈ ℕ+
17. B : ℕ+
18. ((2 * n) + 2) = B ∈ ℕ+
19. i : ℕ
20. ((2 * n) + 1) = i ∈ ℕ
⊢ (x^i + 2)/A * B * M ≤ (x^i)/M

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\} 
2.  k  :  \mBbbN{}
3.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
4.  k1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (r1/r(k1))  <  e
6.  N  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  i)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}i\}  -  sine(x)|  \mleq{}  (r1/r(k1))))
8.  |sine(x)  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}N\}|  \mleq{}  (r1/r(k1))
9.  \mneg{}(N  \mleq{}  k)
10.  n  :  \mBbbN{}
11.  0  \mleq{}  n
12.  r0  \mleq{}  (x\^{}(2  *  n)  +  1)/((2  *  n)  +  1)!
13.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
14.  ((2  *  n)  +  1)!  =  M
15.  A  :  \mBbbN{}\msupplus{}
16.  ((2  *  n)  +  3)  =  A
17.  B  :  \mBbbN{}\msupplus{}
18.  ((2  *  n)  +  2)  =  B
\mvdash{}  (x\^{}(2  *  (n  +  1))  +  1)/A  *  B  *  M  \mleq{}  (x\^{}(2  *  n)  +  1)/M


By

---

Latex:
((Subst'  (2  *  (n  +  1))  +  1  \msim{}  ((2  *  n)  +  1)  +  2  0  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}((2  *  n)  +  1)  =  i\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  )

---

Home Index