---

Step * 2 4 of Lemma sine-poly-approx-1


1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i} - sine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. |Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | k + 1≤i≤N}| ≤ (x^(2 * (k + 1)) + 1)/((2 * (k + 1)) + 1)!
⊢ ((r1/r(k1)) + |Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | k + 1≤i≤N}|) ≤ ((x^(2 * k) + 3/r(((2 * k) + 3)!)) + e)
BY
{ ((Subst' (2 * (k + 1)) + 1 ~ (2 * k) + 3 -1 THEN Auto) THEN RWO "-1" 0 THEN Auto) }

1
1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i} - sine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. |Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | k + 1≤i≤N}| ≤ (x^(2 * k) + 3)/((2 * k) + 3)!
⊢ ((r1/r(k1)) + (x^(2 * k) + 3)/((2 * k) + 3)!) ≤ ((x^(2 * k) + 3/r(((2 * k) + 3)!)) + e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\} 
2.  k  :  \mBbbN{}
3.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
4.  k1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (r1/r(k1))  <  e
6.  N  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  i)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}i\}  -  sine(x)|  \mleq{}  (r1/r(k1))))
8.  |sine(x)  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}N\}|  \mleq{}  (r1/r(k1))
9.  \mneg{}(N  \mleq{}  k)
10.  |\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  k  +  1\mleq{}i\mleq{}N\}|  \mleq{}  (x\^{}(2  *  (k  +  1))  +  1)/((2  *  (k  +  1))
+  1)!
\mvdash{}  ((r1/r(k1))  +  |\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  k  +  1\mleq{}i\mleq{}N\}|)  \mleq{}  ((x\^{}(2  *  k)  +  3/r(((2  *  k)
+  3)!))
+  e)


By

---

Latex:
((Subst'  (2  *  (k  +  1))  +  1  \msim{}  (2  *  k)  +  3  -1  THEN  Auto)  THEN  RWO  "-1"  0  THEN  Auto)

---

Home Index