---

Step * 2 4 1 of Lemma sine-poly-approx-1


1. x : {x:ℝ| (r0 ≤ x) ∧ (x ≤ r1)} 
2. k : ℕ
3. e : {e:ℝ| r0 < e} 
4. k1 : ℕ+
5. (r1/r(k1)) < e
6. N : ℕ
7. ∀i:ℕ. ((N ≤ i) ⇒ (|Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤i} - sine(x)| ≤ (r1/r(k1))))
8. |sine(x) - Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | 0≤i≤N}| ≤ (r1/r(k1))
9. ¬(N ≤ k)
10. |Σ{-1^i * (x^(2 * i) + 1)/((2 * i) + 1)! | k + 1≤i≤N}| ≤ (x^(2 * k) + 3)/((2 * k) + 3)!
⊢ ((r1/r(k1)) + (x^(2 * k) + 3)/((2 * k) + 3)!) ≤ ((x^(2 * k) + 3/r(((2 * k) + 3)!)) + e)
BY
{ ((GenConclTerm ⌜x^(2 * k) + 3⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜((2 * k) + 3)! = M ∈ ℕ+⌝⋅ THENA Auto)
   THEN RWO "5 int-rdiv-req<" 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  r1)\} 
2.  k  :  \mBbbN{}
3.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
4.  k1  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (r1/r(k1))  <  e
6.  N  :  \mBbbN{}
7.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  i)  {}\mRightarrow{}  (|\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}i\}  -  sine(x)|  \mleq{}  (r1/r(k1))))
8.  |sine(x)  -  \mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  0\mleq{}i\mleq{}N\}|  \mleq{}  (r1/r(k1))
9.  \mneg{}(N  \mleq{}  k)
10.  |\mSigma{}\{-1\^{}i  *  (x\^{}(2  *  i)  +  1)/((2  *  i)  +  1)!  |  k  +  1\mleq{}i\mleq{}N\}|  \mleq{}  (x\^{}(2  *  k)  +  3)/((2  *  k)  +  3)!
\mvdash{}  ((r1/r(k1))  +  (x\^{}(2  *  k)  +  3)/((2  *  k)  +  3)!)  \mleq{}  ((x\^{}(2  *  k)  +  3/r(((2  *  k)  +  3)!))  +  e)


By

---

Latex:
((GenConclTerm  \mkleeneopen{}x\^{}(2  *  k)  +  3\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}((2  *  k)  +  3)!  =  M\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RWO  "5  int-rdiv-req<"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index