---

Step * 1 1 of Lemma strictly-increasing-on-closed-interval2


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
6. f[x] strictly-increasing for x ∈ (a, b)
7. f[x] increasing for x ∈ [a, b] ⇒ f[x] strictly-increasing for x ∈ [a, b]
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((f[a] ≤ f[x]) ∧ (f[x] ≤ f[b]))
9. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
10. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
11. x ≤ y
⊢ f[x] ≤ f[y]
BY
{ (StableCases ⌜a < x⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
6. f[x] strictly-increasing for x ∈ (a, b)
7. f[x] increasing for x ∈ [a, b] ⇒ f[x] strictly-increasing for x ∈ [a, b]
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((f[a] ≤ f[x]) ∧ (f[x] ≤ f[b]))
9. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
10. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
11. x ≤ y
12. a < x
⊢ f[x] ≤ f[y]

2
1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
6. f[x] strictly-increasing for x ∈ (a, b)
7. f[x] increasing for x ∈ [a, b] ⇒ f[x] strictly-increasing for x ∈ [a, b]
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . ((f[a] ≤ f[x]) ∧ (f[x] ≤ f[b]))
9. x : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
10. y : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
11. x ≤ y
12. ¬(a < x)
⊢ f[x] ≤ f[y]

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  (a,  b)  \msubseteq{}  [a,  b] 
5.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
6.  f[x]  strictly-increasing  for  x  \mmember{}  (a,  b)
7.  f[x]  increasing  for  x  \mmember{}  [a,  b]  {}\mRightarrow{}  f[x]  strictly-increasing  for  x  \mmember{}  [a,  b]
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  ((f[a]  \mleq{}  f[x])  \mwedge{}  (f[x]  \mleq{}  f[b]))
9.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
10.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\} 
11.  x  \mleq{}  y
\mvdash{}  f[x]  \mleq{}  f[y]


By

---

Latex:
(StableCases  \mkleeneopen{}a  <  x\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index