---

Step * 1 of Lemma unique-limit


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y1 : ℝ
3. y2 : ℝ
4. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y1| ≤ (r1/r(k)))))})
5. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y2| ≤ (r1/r(k)))))})
6. k : ℕ+
7. N : ℕ
8. [%7] : ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y1| ≤ (r1/r(2 * k))))
9. N1 : ℕ
10. [%9] : ∀n:ℕ. ((N1 ≤ n) ⇒ (|x[n] - y2| ≤ (r1/r(2 * k))))
11. |x[imax(N;N1)] - y2| ≤ (r1/r(2 * k))
12. |x[imax(N;N1)] - y1| ≤ (r1/r(2 * k))
⊢ |y1 - y2| ≤ (r1/r(k))
BY
{ ((Assert |y1 - y2| ≤ (|y1 - x[imax(N;N1)]| + |x[imax(N;N1)] - y2|) BY
          ((RWO "r-triangle-inequality<" 0 THENA Auto) THEN nRNorm 0 THEN Auto))
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "-3" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "rabs-difference-symmetry" 0 THENA Auto)
   THEN (RWO "-2" 0 THENA Auto)) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. y1 : ℝ
3. y2 : ℝ
4. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y1| ≤ (r1/r(k)))))})
5. ∀k:ℕ+. (∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y2| ≤ (r1/r(k)))))})
6. k : ℕ+
7. N : ℕ
8. ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|x[n] - y1| ≤ (r1/r(2 * k))))
9. N1 : ℕ
10. ∀n:ℕ. ((N1 ≤ n) ⇒ (|x[n] - y2| ≤ (r1/r(2 * k))))
11. |x[imax(N;N1)] - y2| ≤ (r1/r(2 * k))
12. |x[imax(N;N1)] - y1| ≤ (r1/r(2 * k))
13. |y1 - y2| ≤ (|y1 - x[imax(N;N1)]| + |x[imax(N;N1)] - y2|)
⊢ ((r1/r(2 * k)) + (r1/r(2 * k))) ≤ (r1/r(k))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  y1  :  \mBbbR{}
3.  y2  :  \mBbbR{}
4.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  y1|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\})
5.  \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  (\mexists{}N:\{\mBbbN{}|  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  y2|  \mleq{}  (r1/r(k)))))\})
6.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
7.  N  :  \mBbbN{}
8.  [\%7]  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  y1|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))))
9.  N1  :  \mBbbN{}
10.  [\%9]  :  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((N1  \mleq{}  n)  {}\mRightarrow{}  (|x[n]  -  y2|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))))
11.  |x[imax(N;N1)]  -  y2|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))
12.  |x[imax(N;N1)]  -  y1|  \mleq{}  (r1/r(2  *  k))
\mvdash{}  |y1  -  y2|  \mleq{}  (r1/r(k))


By

---

Latex:
((Assert  |y1  -  y2|  \mleq{}  (|y1  -  x[imax(N;N1)]|  +  |x[imax(N;N1)]  -  y2|)  BY
                ((RWO  "r-triangle-inequality<"  0  THENA  Auto)  THEN  nRNorm  0  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-3"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "rabs-difference-symmetry"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-2"  0  THENA  Auto))

---

Home Index