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Step * 1 2 of Lemma BB-problem-21


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (r0 ≤ g[x]))
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. rmin(a;b) = a
8. rmax(a;b) = b
9. λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b]) ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
⊢ ∃c:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (|∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b]| < e)
BY
{ ((Subst' ∃c:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (|∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b]| < e) 
    ~ ∃c:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (|(λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b])) c| < e) 0
    THENA (Reduce 0 THEN Auto)
    )
   THEN (GenConcl ⌜(λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b])) = F ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} ⌝\000C⋅
         THENA Auto
         )
   THEN (InstLemma `rless-cases` [⌜r0⌝;⌜e⌝;⌜||F c||_c:[a, b]⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN D -1) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (r0 ≤ g[x]))
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. rmin(a;b) = a
8. rmax(a;b) = b
9. λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b]) ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
10. F : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
11. (λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b])) = F ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
12. r0 < ||F c||_c:[a, b]
⊢ ∃c:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (|F c| < e)

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (r0 ≤ g[x]))
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. rmin(a;b) = a
8. rmax(a;b) = b
9. λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b]) ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
10. F : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
11. (λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b])) = F ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
12. ||F c||_c:[a, b] < e
⊢ ∃c:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (|F c| < e)

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Latex:

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Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  g  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (r0  \mleq{}  g[x]))
6.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
7.  rmin(a;b)  =  a
8.  rmax(a;b)  =  b
9.  \mlambda{}c.(\mint{}  f[x]  *  g[x]  dx  on  [a,  b]  -  f[c]  *  \mint{}  g[x]  dx  on  [a,  b])  \mmember{}  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
\mvdash{}  \mexists{}c:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (|\mint{}  f[x]  *  g[x]  dx  on  [a,  b]  -  f[c]  *  \mint{}  g[x]  dx  on  [a,  b]|  <  e)


By

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Latex:
((Subst'  \mexists{}c:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (|\mint{}  f[x]  *  g[x]  dx  on  [a,  b]  -  f[c]  *  \mint{}  g[x]  dx  on  [a,  b]|  <  e) 
    \msim{}  \mexists{}c:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (|(\mlambda{}c.(\mint{}  f[x]  *  g[x]  dx  on  [a,  b]  -  f[c]  *  \mint{}  g[x]  dx  on  [a,  b]))  c|  <  e)  \000C0
    THENA  (Reduce  0  THEN  Auto)
    )
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(\mlambda{}c.(\mint{}  f[x]  *  g[x]  dx  on  [a,  b]  -  f[c]  *  \mint{}  g[x]  dx  on  [a,  b]))  =  F\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `rless-cases`  [\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}||F  c||\_c:[a,  b]\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1)

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