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Step * 1 2 2 of Lemma BB-problem-21


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (r0 ≤ g[x]))
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. rmin(a;b) = a
8. rmax(a;b) = b
9. λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b]) ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
10. F : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
11. (λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b])) = F ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
12. ||F c||_c:[a, b] < e
⊢ ∃c:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} . (|F c| < e)
BY
{ (D 0 With ⌜a⌝  THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (r0 ≤ g[x]))
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. rmin(a;b) = a
8. rmax(a;b) = b
9. λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b]) ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
10. F : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
11. (λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b])) = F ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
12. ||F c||_c:[a, b] < e
⊢ |F a| < e

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Latex:

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Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  g  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (r0  \mleq{}  g[x]))
6.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
7.  rmin(a;b)  =  a
8.  rmax(a;b)  =  b
9.  \mlambda{}c.(\mint{}  f[x]  *  g[x]  dx  on  [a,  b]  -  f[c]  *  \mint{}  g[x]  dx  on  [a,  b])  \mmember{}  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
10.  F  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
11.  (\mlambda{}c.(\mint{}  f[x]  *  g[x]  dx  on  [a,  b]  -  f[c]  *  \mint{}  g[x]  dx  on  [a,  b]))  =  F
12.  ||F  c||\_c:[a,  b]  <  e
\mvdash{}  \mexists{}c:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .  (|F  c|  <  e)


By

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Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

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