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Step * 1 2 1 1 1 of Lemma BB-problem-21


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (r0 ≤ g[x]))
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. rmin(a;b) = a
8. rmax(a;b) = b
9. λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b]) ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
10. F : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
11. (λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b])) = F ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
12. r0 < ||F c||_c:[a, b]
13. x : {x:ℝ| x ∈ [left-endpoint([a, b]), right-endpoint([a, b])]} 
14. y : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 
15. x = y
⊢ ||(f[x@0] - f[x]) * g[x@0]||_x@0:[a, b] = ||(f[x] - f[y]) * g[x]||_x:[a, b]
BY
{ (BLemma `I-norm_functionality` THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (r0 ≤ g[x]))
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. rmin(a;b) = a
8. rmax(a;b) = b
9. λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b]) ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
10. F : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
11. (λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b])) = F ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
12. r0 < ||F c||_c:[a, b]
13. x : {x:ℝ| x ∈ [left-endpoint([a, b]), right-endpoint([a, b])]} 
14. y : {x:ℝ| (a ≤ x) ∧ (x ≤ b)} 
15. x = y
16. x1 : {x:ℝ| x ∈ [a, b]} 
⊢ ((f[x1] - f[x]) * g[x1]) = ((f[x1] - f[y]) * g[x1])

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Latex:

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Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  g  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (r0  \mleq{}  g[x]))
6.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
7.  rmin(a;b)  =  a
8.  rmax(a;b)  =  b
9.  \mlambda{}c.(\mint{}  f[x]  *  g[x]  dx  on  [a,  b]  -  f[c]  *  \mint{}  g[x]  dx  on  [a,  b])  \mmember{}  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
10.  F  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
11.  (\mlambda{}c.(\mint{}  f[x]  *  g[x]  dx  on  [a,  b]  -  f[c]  *  \mint{}  g[x]  dx  on  [a,  b]))  =  F
12.  r0  <  ||F  c||\_c:[a,  b]
13.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [left-endpoint([a,  b]),  right-endpoint([a,  b])]\} 
14.  y  :  \{x:\mBbbR{}|  (a  \mleq{}  x)  \mwedge{}  (x  \mleq{}  b)\} 
15.  x  =  y
\mvdash{}  ||(f[x@0]  -  f[x])  *  g[x@0]||\_x@0:[a,  b]  =  ||(f[x]  -  f[y])  *  g[x]||\_x:[a,  b]


By

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Latex:
(BLemma  `I-norm\_functionality`  THEN  Auto)

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