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Step * 1 2 1 2 1 1 of Lemma BB-problem-21

.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (r0 ≤ g[x]))
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. rmin(a;b) = a
8. rmax(a;b) = b
9. λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b]) ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
10. F : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
11. (λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b])) = F ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
12. r0 < ||F c||_c:[a, b]
13. ifun(λc.||(f[x] - f[c]) * g[x]||_x:[a, b];[a, b])
14. ∀c:{r:ℝ| r ∈ [a, b]} . ((F c) = ∫ (f[x] - f[c]) * g[x] dx on [a, b])
⊢ ||F c||_c:[a, b] ≤ (||||(f[x] - f[c]) * g[x]||_x:[a, b]||_c:[a, b] * (b - a))
BY
{ ((BLemma `I-norm-rleq` THEN Auto)
   THEN (Assert ||(f[x] - f[c]) * g[x]||_x:[a, b] ≤ ||||(f[x] - f[c]) * g[x]||_x:[a, b]||_c:[a, b] BY
               ((InstLemma `I-norm-bound` [⌜[a, b]⌝;⌜λ2c.||(f[x] - f[c]) * g[x]||_x:[a, b]⌝;⌜c⌝]⋅ THENA Auto)
                THEN RWO  "rabs-of-nonneg" (-1)
                THEN Auto))
   ) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. g : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (r0 ≤ g[x]))
6. e : {e:ℝ| r0 < e} 
7. rmin(a;b) = a
8. rmax(a;b) = b
9. λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b]) ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
10. F : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
11. (λc.(∫ f[x] * g[x] dx on [a, b] - f[c] * ∫ g[x] dx on [a, b])) = F ∈ {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
12. r0 < ||F c||_c:[a, b]
13. ifun(λc.||(f[x] - f[c]) * g[x]||_x:[a, b];[a, b])
14. ∀c:{r:ℝ| r ∈ [a, b]} . ((F c) = ∫ (f[x] - f[c]) * g[x] dx on [a, b])
15. c : {r:ℝ| r ∈ [a, b]} 
16. ||(f[x] - f[c]) * g[x]||_x:[a, b] ≤ ||||(f[x] - f[c]) * g[x]||_x:[a, b]||_c:[a, b]
⊢ |F c| ≤ (||||(f[x] - f[c]) * g[x]||_x:[a, b]||_c:[a, b] * (b - a))

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Latex:

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Latex:
.....assertion..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  g  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (r0  \mleq{}  g[x]))
6.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
7.  rmin(a;b)  =  a
8.  rmax(a;b)  =  b
9.  \mlambda{}c.(\mint{}  f[x]  *  g[x]  dx  on  [a,  b]  -  f[c]  *  \mint{}  g[x]  dx  on  [a,  b])  \mmember{}  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
10.  F  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
11.  (\mlambda{}c.(\mint{}  f[x]  *  g[x]  dx  on  [a,  b]  -  f[c]  *  \mint{}  g[x]  dx  on  [a,  b]))  =  F
12.  r0  <  ||F  c||\_c:[a,  b]
13.  ifun(\mlambda{}c.||(f[x]  -  f[c])  *  g[x]||\_x:[a,  b];[a,  b])
14.  \mforall{}c:\{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  [a,  b]\}  .  ((F  c)  =  \mint{}  (f[x]  -  f[c])  *  g[x]  dx  on  [a,  b])
\mvdash{}  ||F  c||\_c:[a,  b]  \mleq{}  (||||(f[x]  -  f[c])  *  g[x]||\_x:[a,  b]||\_c:[a,  b]  *  (b  -  a))


By

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Latex:
((BLemma  `I-norm-rleq`  THEN  Auto)
  THEN  (Assert  ||(f[x]  -  f[c])  *  g[x]||\_x:[a,  b]  \mleq{}  ||||(f[x]  -  f[c])  *  g[x]||\_x:[a,  b]||\_c:[a,  b]  BY
                          ((InstLemma  `I-norm-bound`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}c.||(f[x]  -  f[c])  *  g[x]||\_x:[a,  b]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                              THENA  Auto
                              )
                            THEN  RWO    "rabs-of-nonneg"  (-1)
                            THEN  Auto))
  )

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