---

Step * 1 1 of Lemma DAlembert-equation-iff2


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
3. ∀x,y:ℝ.  ((f(x + y) + f(x - y)) = (r(2) * f(x) * f(y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f(x))/dx = λx.g(x) on (-(u), u)
9. d(g(x))/dx = λx.h(x) on (-(u), u)
10. h(r0) ≤ r0
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = cosh(c * x))))
⊢ ∃c:ℝ. ∀x:ℝ. (f(x) = rcos(c * x))
BY
{ (All (RepUR  ``rfun-ap``)
   THEN D 0 With ⌜rsqrt(-(h r0))⌝ 
   THEN Auto
   THEN (StableCases ⌜(∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x)))⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (Trivial ORELSE (D -1 THEN ExRepD))) }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f x)/dx = λx.g x on (-(u), u)
9. d(g x)/dx = λx.h x on (-(u), u)
10. (h r0) ≤ r0
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))))
12. x : ℝ
13. c : ℝ
14. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))
⊢ (f x) = rcos(rsqrt(-(h r0)) * x)

2
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f x)/dx = λx.g x on (-(u), u)
9. d(g x)/dx = λx.h x on (-(u), u)
10. (h r0) ≤ r0
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))))
12. x : ℝ
13. c : ℝ
14. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))
⊢ (f x) = rcos(rsqrt(-(h r0)) * x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y)))
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((f(x  +  y)  +  f(x  -  y))  =  (r(2)  *  f(x)  *  f(y)))
4.  u  :  \mBbbR{}
5.  r0  <  u
6.  g  :  (-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  h  :  (-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
8.  d(f(x))/dx  =  \mlambda{}x.g(x)  on  (-(u),  u)
9.  d(g(x))/dx  =  \mlambda{}x.h(x)  on  (-(u),  u)
10.  h(r0)  \mleq{}  r0
11.  \mneg{}\mneg{}((\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  cosh(c  *  x))))
\mvdash{}  \mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(c  *  x))


By

---

Latex:
(All  (RepUR    ``rfun-ap``)
  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}rsqrt(-(h  r0))\mkleeneclose{} 
  THEN  Auto
  THEN  (StableCases  \mkleeneopen{}(\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x)))\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  (Trivial  ORELSE  (D  -1  THEN  ExRepD)))

---

Home Index