---

Step * 1 2 2 1 1 1 of Lemma DAlembert-equation-iff2


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f x)/dx = λx.g x on (-(u), u)
9. d(g x)/dx = λx.h x on (-(u), u)
10. r0 ≤ (h r0)
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))))
12. x : ℝ
13. c : ℝ
14. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))
15. d(cosh(c * x))/dx = λx.c * sinh(c * x) on (-(u), u)
16. d(f x)/dx = λx.c * sinh(c * x) on (-(u), u)
17. iproper((-(u), u))
18. rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * sinh(c * x);λ2x.g x)
⊢ (h r0) = (c * c)
BY
{ ((Assert d(c * sinh(c * x))/dx = λx.c * c * cosh(c * x) on (-(u), u) BY
          ((ProveDerivative THEN Auto)
           THEN (InstLemma `derivative-function-rmul-const` [⌜λ2x.sinh(x)⌝;⌜λ2x.cosh(x)⌝;⌜c⌝]⋅ THENA Auto)
           THEN ((InstLemma `derivative_functionality_wrt_subinterval` [⌜(-∞, ∞)⌝]⋅ THENA Auto) THEN BHyp -1  THEN Auto)
           THEN D 0
           THEN Reduce 0⋅
           THEN Auto))
   THEN (Assert d(g x)/dx = λx.c * c * cosh(c * x) on (-(u), u) BY
               (DerivativeFunctionality (-1) THEN Auto THEN D -3 With ⌜x1⌝  THEN Auto))
   ) }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f x)/dx = λx.g x on (-(u), u)
9. d(g x)/dx = λx.h x on (-(u), u)
10. r0 ≤ (h r0)
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))))
12. x : ℝ
13. c : ℝ
14. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))
15. d(cosh(c * x))/dx = λx.c * sinh(c * x) on (-(u), u)
16. d(f x)/dx = λx.c * sinh(c * x) on (-(u), u)
17. iproper((-(u), u))
18. rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * sinh(c * x);λ2x.g x)
19. d(c * sinh(c * x))/dx = λx.c * c * cosh(c * x) on (-(u), u)
20. d(g x)/dx = λx.c * c * cosh(c * x) on (-(u), u)
⊢ (h r0) = (c * c)

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (((f  (x  +  y))  +  (f  (x  -  y)))  =  (r(2)  *  (f  x)  *  (f  y)))
4.  u  :  \mBbbR{}
5.  r0  <  u
6.  g  :  (-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  h  :  (-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
8.  d(f  x)/dx  =  \mlambda{}x.g  x  on  (-(u),  u)
9.  d(g  x)/dx  =  \mlambda{}x.h  x  on  (-(u),  u)
10.  r0  \mleq{}  (h  r0)
11.  \mneg{}\mneg{}((\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x))))
12.  x  :  \mBbbR{}
13.  c  :  \mBbbR{}
14.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x))
15.  d(cosh(c  *  x))/dx  =  \mlambda{}x.c  *  sinh(c  *  x)  on  (-(u),  u)
16.  d(f  x)/dx  =  \mlambda{}x.c  *  sinh(c  *  x)  on  (-(u),  u)
17.  iproper((-(u),  u))
18.  rfun-eq((-(u),  u);\mlambda{}\msubtwo{}x.c  *  sinh(c  *  x);\mlambda{}\msubtwo{}x.g  x)
\mvdash{}  (h  r0)  =  (c  *  c)


By

---

Latex:
((Assert  d(c  *  sinh(c  *  x))/dx  =  \mlambda{}x.c  *  c  *  cosh(c  *  x)  on  (-(u),  u)  BY
                ((ProveDerivative  THEN  Auto)
                  THEN  (InstLemma  `derivative-function-rmul-const`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.sinh(x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.cosh(x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                              THENA  Auto
                              )
                  THEN  ((InstLemma  `derivative\_functionality\_wrt\_subinterval`  [\mkleeneopen{}(-\minfty{},  \minfty{})\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                              THEN  BHyp  -1 
                              THEN  Auto)
                  THEN  D  0
                  THEN  Reduce  0\mcdot{}
                  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  d(g  x)/dx  =  \mlambda{}x.c  *  c  *  cosh(c  *  x)  on  (-(u),  u)  BY
                          (DerivativeFunctionality  (-1)  THEN  Auto  THEN  D  -3  With  \mkleeneopen{}x1\mkleeneclose{}    THEN  Auto))
  )

---

Home Index