---

Step * 2 1 of Lemma DAlembert-equation-iff2


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. (∀x:ℝ. ((f x) = r0)) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x)))
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
4. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
5. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
6. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
7. r0 < r1
⊢ ∃g,h:(-(r1), r1) ⟶ℝ
   (d(f x)/dx = λx.g x on (-(r1), r1) ∧ d(g x)/dx = λx.h x on (-(r1), r1) ∧ (((h r0) ≤ r0) ∨ (r0 ≤ (h r0))))
BY
{ SplitOrHyps }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x:ℝ. ((f x) = r0)
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
4. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
5. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
6. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
7. r0 < r1
⊢ ∃g,h:(-(r1), r1) ⟶ℝ
   (d(f x)/dx = λx.g x on (-(r1), r1) ∧ d(g x)/dx = λx.h x on (-(r1), r1) ∧ (((h r0) ≤ r0) ∨ (r0 ≤ (h r0))))

2
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
4. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
5. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
6. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
7. r0 < r1
⊢ ∃g,h:(-(r1), r1) ⟶ℝ
   (d(f x)/dx = λx.g x on (-(r1), r1) ∧ d(g x)/dx = λx.h x on (-(r1), r1) ∧ (((h r0) ≤ r0) ∨ (r0 ≤ (h r0))))

3
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
4. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
5. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
6. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
7. r0 < r1
⊢ ∃g,h:(-(r1), r1) ⟶ℝ
   (d(f x)/dx = λx.g x on (-(r1), r1) ∧ d(g x)/dx = λx.h x on (-(r1), r1) ∧ (((h r0) ≤ r0) ∨ (r0 ≤ (h r0))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  r0))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x)))
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
4.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (((f  (x  +  y))  +  (f  (x  -  y)))  =  (r(2)  *  (f  x)  *  (f  y)))
5.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
6.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (((f  (x  +  y))  +  (f  (x  -  y)))  =  (r(2)  *  (f  x)  *  (f  y)))
7.  r0  <  r1
\mvdash{}  \mexists{}g,h:(-(r1),  r1)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
      (d(f  x)/dx  =  \mlambda{}x.g  x  on  (-(r1),  r1)
      \mwedge{}  d(g  x)/dx  =  \mlambda{}x.h  x  on  (-(r1),  r1)
      \mwedge{}  (((h  r0)  \mleq{}  r0)  \mvee{}  (r0  \mleq{}  (h  r0))))


By

---

Latex:
SplitOrHyps

---

Home Index