---

Step * 1 1 1 1 of Lemma DAlembert-equation-iff3


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f x)/dx = λx.g x on (-(u), u)
9. d(g x)/dx = λx.h x on (-(u), u)
10. ((h r0) < r0) ∨ ((h r0) = r0) ∨ (r0 < (h r0))
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))))
12. c : ℝ
13. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))
⊢ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * -(c * rcos(c * x));λ2x.h x)
BY
{ ((Assert d(rcos(c * x))/dx = λx.c * -(rsin(c * x)) on (-(u), u) BY
          ((InstLemma `derivative-function-rmul-const` [⌜λ2x.rcos(x)⌝;⌜λ2x.-(rsin(x))⌝;⌜c⌝]⋅ THENA Auto)
           THEN (InstLemma `derivative_functionality_wrt_subinterval` [⌜(-∞, ∞)⌝]⋅ THENA Auto)
           THEN BHyp -1 
           THEN Auto
           THEN D 0
           THEN Reduce 0⋅
           THEN Auto))
   THEN (Assert d(f x)/dx = λx.c * -(rsin(c * x)) on (-(u), u) BY
               (DerivativeFunctionality (-1) THEN Auto THEN RWO "-3" 0 THEN Auto))
   ) }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))
3. ∀x,y:ℝ.  (((f (x + y)) + (f (x - y))) = (r(2) * (f x) * (f y)))
4. u : ℝ
5. r0 < u
6. g : (-(u), u) ⟶ℝ
7. h : (-(u), u) ⟶ℝ
8. d(f x)/dx = λx.g x on (-(u), u)
9. d(g x)/dx = λx.h x on (-(u), u)
10. ((h r0) < r0) ∨ ((h r0) = r0) ∨ (r0 < (h r0))
11. ¬¬((∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))) ∨ (∃c:ℝ. ∀x:ℝ. ((f x) = cosh(c * x))))
12. c : ℝ
13. ∀x:ℝ. ((f x) = rcos(c * x))
14. d(rcos(c * x))/dx = λx.c * -(rsin(c * x)) on (-(u), u)
15. d(f x)/dx = λx.c * -(rsin(c * x)) on (-(u), u)
⊢ rfun-eq((-(u), u);λ2x.c * -(c * rcos(c * x));λ2x.h x)

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (((f  (x  +  y))  +  (f  (x  -  y)))  =  (r(2)  *  (f  x)  *  (f  y)))
4.  u  :  \mBbbR{}
5.  r0  <  u
6.  g  :  (-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  h  :  (-(u),  u)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
8.  d(f  x)/dx  =  \mlambda{}x.g  x  on  (-(u),  u)
9.  d(g  x)/dx  =  \mlambda{}x.h  x  on  (-(u),  u)
10.  ((h  r0)  <  r0)  \mvee{}  ((h  r0)  =  r0)  \mvee{}  (r0  <  (h  r0))
11.  \mneg{}\mneg{}((\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  rcos(c  *  x)))  \mvee{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  cosh(c  *  x))))
12.  c  :  \mBbbR{}
13.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((f  x)  =  rcos(c  *  x))
\mvdash{}  rfun-eq((-(u),  u);\mlambda{}\msubtwo{}x.c  *  -(c  *  rcos(c  *  x));\mlambda{}\msubtwo{}x.h  x)


By

---

Latex:
((Assert  d(rcos(c  *  x))/dx  =  \mlambda{}x.c  *  -(rsin(c  *  x))  on  (-(u),  u)  BY
                ((InstLemma  `derivative-function-rmul-const`  [\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.rcos(x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.-(rsin(x))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                    THENA  Auto
                    )
                  THEN  (InstLemma  `derivative\_functionality\_wrt\_subinterval`  [\mkleeneopen{}(-\minfty{},  \minfty{})\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                  THEN  BHyp  -1 
                  THEN  Auto
                  THEN  D  0
                  THEN  Reduce  0\mcdot{}
                  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  d(f  x)/dx  =  \mlambda{}x.c  *  -(rsin(c  *  x))  on  (-(u),  u)  BY
                          (DerivativeFunctionality  (-1)  THEN  Auto  THEN  RWO  "-3"  0  THEN  Auto))
  )

---

Home Index