---

Step * 2 of Lemma Legendre-rpolynomial-same-degree


1. [n] : ℕ
2. [a] : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. [f] : [r(-1), r1] ⟶ℝ
4. [%] : ∀x:{x:ℝ| x ∈ [r(-1), r1]} . ((f x) = (Σi≤n. a_i * x^i))
5. λx.((f x) * Legendre(n;x)) ∈ {f:[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)])} 
⊢ r(-1)_∫-r1 (f x) * Legendre(n;x) dx = ((r(2 * (n)!)/r(doublefact((2 * n) + 1))) * (a n))
BY
{ ((Unhide THENA Auto)
   THEN (InstLemma `Legendre-orthogonal-rpolynomial` [⌜n⌝;⌜n⌝;⌜a⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (Subst' (n =z n) ~ tt -1 THENA Auto)
   THEN Reduce -1
   THEN Assert ⌜r(-1)_∫-r1 (f x) * Legendre(n;x) dx = r(-1)_∫-r1 (Σi≤n. a_i * x^i) * Legendre(n;x) dx⌝⋅) }

1
.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. f : [r(-1), r1] ⟶ℝ
4. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [r(-1), r1]} . ((f x) = (Σi≤n. a_i * x^i))
5. λx.((f x) * Legendre(n;x)) ∈ {f:[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)])} 
6. r(-1)_∫-r1 (Σi≤n. a_i * x^i) * Legendre(n;x) dx = ((r(2 * (n)!)/r(doublefact((2 * n) + 1))) * (a n))
⊢ r(-1)_∫-r1 (f x) * Legendre(n;x) dx = r(-1)_∫-r1 (Σi≤n. a_i * x^i) * Legendre(n;x) dx

2
1. n : ℕ
2. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. f : [r(-1), r1] ⟶ℝ
4. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [r(-1), r1]} . ((f x) = (Σi≤n. a_i * x^i))
5. λx.((f x) * Legendre(n;x)) ∈ {f:[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)])} 
6. r(-1)_∫-r1 (Σi≤n. a_i * x^i) * Legendre(n;x) dx = ((r(2 * (n)!)/r(doublefact((2 * n) + 1))) * (a n))
7. r(-1)_∫-r1 (f x) * Legendre(n;x) dx = r(-1)_∫-r1 (Σi≤n. a_i * x^i) * Legendre(n;x) dx
⊢ r(-1)_∫-r1 (f x) * Legendre(n;x) dx = ((r(2 * (n)!)/r(doublefact((2 * n) + 1))) * (a n))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [n]  :  \mBbbN{}
2.  [a]  :  \mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  [f]  :  [r(-1),  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  [\%]  :  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r(-1),  r1]\}  .  ((f  x)  =  (\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  x\^{}i))
5.  \mlambda{}x.((f  x)  *  Legendre(n;x))  \mmember{}  \{f:[rmin(r(-1);r1),  rmax(r(-1);r1)]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}| 
                                                                  ifun(f;[rmin(r(-1);r1),  rmax(r(-1);r1)])\} 
\mvdash{}  r(-1)\_\mint{}\msupminus{}r1  (f  x)  *  Legendre(n;x)  dx  =  ((r(2  *  (n)!)/r(doublefact((2  *  n)  +  1)))  *  (a  n))


By

---

Latex:
((Unhide  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `Legendre-orthogonal-rpolynomial`  [\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  (n  =\msubz{}  n)  \msim{}  tt  -1  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  -1
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}r(-1)\_\mint{}\msupminus{}r1  (f  x)  *  Legendre(n;x)  dx  =  r(-1)\_\mint{}\msupminus{}r1  (\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  x\^{}i)  *  Legendre(n;x)  dx\mkleeneclose{}
  \mcdot{})

---

Home Index