---

Step * 2 1 of Lemma Legendre-rpolynomial-same-degree

.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. f : [r(-1), r1] ⟶ℝ
4. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [r(-1), r1]} . ((f x) = (Σi≤n. a_i * x^i))
5. λx.((f x) * Legendre(n;x)) ∈ {f:[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)])} 
6. r(-1)_∫-r1 (Σi≤n. a_i * x^i) * Legendre(n;x) dx = ((r(2 * (n)!)/r(doublefact((2 * n) + 1))) * (a n))
⊢ r(-1)_∫-r1 (f x) * Legendre(n;x) dx = r(-1)_∫-r1 (Σi≤n. a_i * x^i) * Legendre(n;x) dx
BY
{ (BLemma `integral_functionality` THEN Auto) }

1
1. n : ℕ
2. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. f : [r(-1), r1] ⟶ℝ
4. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [r(-1), r1]} . ((f x) = (Σi≤n. a_i * x^i))
5. λx.((f x) * Legendre(n;x)) ∈ {f:[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)])} 
6. r(-1)_∫-r1 (Σi≤n. a_i * x^i) * Legendre(n;x) dx = ((r(2 * (n)!)/r(doublefact((2 * n) + 1))) * (a n))
7. x : {x:ℝ| x ∈ [rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)]} 
8. y : {x:ℝ| x ∈ [rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)]} 
9. x = y
⊢ ((Σi≤n. a_i * x^i) * Legendre(n;y)) = ((Σi≤n. a_i * y^i) * Legendre(n;y))

2
1. n : ℕ
2. a : ℕn + 1 ⟶ ℝ
3. f : [r(-1), r1] ⟶ℝ
4. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [r(-1), r1]} . ((f x) = (Σi≤n. a_i * x^i))
5. λx.((f x) * Legendre(n;x)) ∈ {f:[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(r(-1);r1), rmax(r(-1);r1)])} 
6. r(-1)_∫-r1 (Σi≤n. a_i * x^i) * Legendre(n;x) dx = ((r(2 * (n)!)/r(doublefact((2 * n) + 1))) * (a n))
7. x : ℝ
8. rmin(r(-1);r1) ≤ x
9. x ≤ rmax(r(-1);r1)
⊢ ((f x) * Legendre(n;x)) = ((Σi≤n. a_i * x^i) * Legendre(n;x))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  n  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  f  :  [r(-1),  r1]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r(-1),  r1]\}  .  ((f  x)  =  (\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  x\^{}i))
5.  \mlambda{}x.((f  x)  *  Legendre(n;x))  \mmember{}  \{f:[rmin(r(-1);r1),  rmax(r(-1);r1)]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}| 
                                                                  ifun(f;[rmin(r(-1);r1),  rmax(r(-1);r1)])\} 
6.  r(-1)\_\mint{}\msupminus{}r1  (\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  x\^{}i)  *  Legendre(n;x)  dx
=  ((r(2  *  (n)!)/r(doublefact((2  *  n)  +  1)))  *  (a  n))
\mvdash{}  r(-1)\_\mint{}\msupminus{}r1  (f  x)  *  Legendre(n;x)  dx  =  r(-1)\_\mint{}\msupminus{}r1  (\mSigma{}i\mleq{}n.  a\_i  *  x\^{}i)  *  Legendre(n;x)  dx


By

---

Latex:
(BLemma  `integral\_functionality`  THEN  Auto)

---

Home Index