---

Step * 1 1 of Lemma Legendre-rpolynomial


1. n : ℕ
2. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
3. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
4. a : ℕ(n - 2) + 1 ⟶ ℝ
5. ∀x:ℝ. (Legendre(n - 2;x) = (Σi≤n - 2. a_i * x^i))
6. (a (n - 2)) = (r(doublefact((2 * (n - 2)) - 1))/r((n - 2)!))
7. b : ℕ(n - 1) + 1 ⟶ ℝ
8. ∀x:ℝ. (Legendre(n - 1;x) = (Σi≤n - 1. b_i * x^i))
9. (b (n - 1)) = (r(doublefact((2 * (n - 1)) - 1))/r((n - 1)!))
10. x : ℝ
⊢ ((r((2 * n) - 1) * x * (Σi≤n - 1. b_i * x^i)) - r(n - 1) * (Σi≤n - 2. a_i * x^i)/r(n))
= (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
            if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
            else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
            fi _i * x^i)
BY
{ (RepeatFor 2 (Thin (-2))
   THEN RepeatFor 2 (Thin (-3))
   THEN (Subst' (n - 2) + 1 ~ n - 1 -3 THENA Auto)
   THEN (Subst' (n - 1) + 1 ~ n -2 THENA Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
3. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
4. a : ℕn - 1 ⟶ ℝ
5. b : ℕn ⟶ ℝ
6. x : ℝ
⊢ ((r((2 * n) - 1) * x * (Σi≤n - 1. b_i * x^i)) - r(n - 1) * (Σi≤n - 2. a_i * x^i)/r(n))
= (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
            if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
            else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
            fi _i * x^i)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mneg{}(n  =  0)
3.  \mneg{}(n  =  1)
4.  a  :  \mBbbN{}(n  -  2)  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (Legendre(n  -  2;x)  =  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  2.  a\_i  *  x\^{}i))
6.  (a  (n  -  2))  =  (r(doublefact((2  *  (n  -  2))  -  1))/r((n  -  2)!))
7.  b  :  \mBbbN{}(n  -  1)  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
8.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (Legendre(n  -  1;x)  =  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  1.  b\_i  *  x\^{}i))
9.  (b  (n  -  1))  =  (r(doublefact((2  *  (n  -  1))  -  1))/r((n  -  1)!))
10.  x  :  \mBbbR{}
\mvdash{}  ((r((2  *  n)  -  1)  *  x  *  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  1.  b\_i  *  x\^{}i))  -  r(n  -  1)  *  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  2.  a\_i  *  x\^{}i)/r(n))
=  (\mSigma{}i\mleq{}n.  \mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  0)  then  (1  -  n  *  a  i)/n
                        if  i  <z  n  -  1  then  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n  -  (n  -  1  *  a  i)/n
                        else  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n
                        fi  \_i  *  x\^{}i)


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (Thin  (-2))
  THEN  RepeatFor  2  (Thin  (-3))
  THEN  (Subst'  (n  -  2)  +  1  \msim{}  n  -  1  -3  THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  (n  -  1)  +  1  \msim{}  n  -2  THENA  Auto))

---

Home Index