---

Step * 1 1 1 of Lemma Legendre-rpolynomial


1. n : ℕ
2. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
3. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
4. a : ℕn - 1 ⟶ ℝ
5. b : ℕn ⟶ ℝ
6. x : ℝ
⊢ ((r((2 * n) - 1) * x * (Σi≤n - 1. b_i * x^i)) - r(n - 1) * (Σi≤n - 2. a_i * x^i)/r(n))
= (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
            if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
            else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
            fi _i * x^i)
BY
{ ((Assert r(n) ≠ r0 BY
          (RWO "rneq-int" 0 THEN Auto))
   THEN (Assert (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
                          if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
                          else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
                          fi _i * x^i) ∈ ℝ BY
               (RepeatFor 2 (MemCD) THEN Try (AutoSplit) THEN Auto))
   ) }

1
1. n : ℕ
2. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
3. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
4. a : ℕn - 1 ⟶ ℝ
5. b : ℕn ⟶ ℝ
6. x : ℝ
7. r(n) ≠ r0
8. (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
             if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
             else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
             fi _i * x^i) ∈ ℝ
⊢ ((r((2 * n) - 1) * x * (Σi≤n - 1. b_i * x^i)) - r(n - 1) * (Σi≤n - 2. a_i * x^i)/r(n))
= (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
            if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
            else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
            fi _i * x^i)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mneg{}(n  =  0)
3.  \mneg{}(n  =  1)
4.  a  :  \mBbbN{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  b  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
6.  x  :  \mBbbR{}
\mvdash{}  ((r((2  *  n)  -  1)  *  x  *  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  1.  b\_i  *  x\^{}i))  -  r(n  -  1)  *  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  2.  a\_i  *  x\^{}i)/r(n))
=  (\mSigma{}i\mleq{}n.  \mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  0)  then  (1  -  n  *  a  i)/n
                        if  i  <z  n  -  1  then  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n  -  (n  -  1  *  a  i)/n
                        else  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n
                        fi  \_i  *  x\^{}i)


By

---

Latex:
((Assert  r(n)  \mneq{}  r0  BY
                (RWO  "rneq-int"  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  (\mSigma{}i\mleq{}n.  \mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  0)  then  (1  -  n  *  a  i)/n
                                                if  i  <z  n  -  1  then  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n  -  (n  -  1  *  a  i)/n
                                                else  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n
                                                fi  \_i  *  x\^{}i)  \mmember{}  \mBbbR{}  BY
                          (RepeatFor  2  (MemCD)  THEN  Try  (AutoSplit)  THEN  Auto))
  )

---

Home Index