---

Step * 1 1 1 1 of Lemma Legendre-rpolynomial


1. n : ℕ
2. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
3. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
4. a : ℕn - 1 ⟶ ℝ
5. b : ℕn ⟶ ℝ
6. x : ℝ
7. r(n) ≠ r0
8. (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
             if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
             else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
             fi _i * x^i) ∈ ℝ
⊢ ((r((2 * n) - 1) * x * (Σi≤n - 1. b_i * x^i)) - r(n - 1) * (Σi≤n - 2. a_i * x^i)/r(n))
= (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
            if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
            else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
            fi _i * x^i)
BY
{ ((RWO  "rsub-rdiv<" 0 THENA Auto)
   THEN (RWW "shift-rpolynomial rmul-rpolynomial rdiv-rpolynomial" 0  THENA Auto)
   THEN (Subst' (n - 1) + 1 ~ n 0 THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN (RWO "subtract-rpolynomials" 0 THENA Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
3. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
4. a : ℕn - 1 ⟶ ℝ
5. b : ℕn ⟶ ℝ
6. x : ℝ
7. r(n) ≠ r0
8. (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
             if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
             else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
             fi _i * x^i) ∈ ℝ
⊢ (Σi≤n. λi.if i ≤z n - 2
            then ((λi.(r((2 * n) - 1) * if (i =z 0) then r0 else b (i - 1) fi /r(n))) i) - (λi.(r(n - 1) * (a i)/r(n))) 
                                                                                           i
            else (λi.(r((2 * n) - 1) * if (i =z 0) then r0 else b (i - 1) fi /r(n))) i
            fi _i * x^i)
= (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
            if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
            else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
            fi _i * x^i)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mneg{}(n  =  0)
3.  \mneg{}(n  =  1)
4.  a  :  \mBbbN{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  b  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
6.  x  :  \mBbbR{}
7.  r(n)  \mneq{}  r0
8.  (\mSigma{}i\mleq{}n.  \mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  0)  then  (1  -  n  *  a  i)/n
                          if  i  <z  n  -  1  then  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n  -  (n  -  1  *  a  i)/n
                          else  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n
                          fi  \_i  *  x\^{}i)  \mmember{}  \mBbbR{}
\mvdash{}  ((r((2  *  n)  -  1)  *  x  *  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  1.  b\_i  *  x\^{}i))  -  r(n  -  1)  *  (\mSigma{}i\mleq{}n  -  2.  a\_i  *  x\^{}i)/r(n))
=  (\mSigma{}i\mleq{}n.  \mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  0)  then  (1  -  n  *  a  i)/n
                        if  i  <z  n  -  1  then  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n  -  (n  -  1  *  a  i)/n
                        else  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n
                        fi  \_i  *  x\^{}i)


By

---

Latex:
((RWO    "rsub-rdiv<"  0  THENA  Auto)
  THEN  (RWW  "shift-rpolynomial  rmul-rpolynomial  rdiv-rpolynomial"  0    THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  (n  -  1)  +  1  \msim{}  n  0  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  (RWO  "subtract-rpolynomials"  0  THENA  Auto))

---

Home Index