---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma Legendre-rpolynomial


1. n : ℕ
2. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
3. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
4. a : ℕn - 1 ⟶ ℝ
5. b : ℕn ⟶ ℝ
6. x : ℝ
7. r(n) ≠ r0
8. (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
             if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
             else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
             fi _i * x^i) ∈ ℝ
⊢ (Σi≤n. λi.if i ≤z n - 2
            then ((λi.(r((2 * n) - 1) * if (i =z 0) then r0 else b (i - 1) fi /r(n))) i) - (λi.(r(n - 1) * (a i)/r(n))) 
                                                                                           i
            else (λi.(r((2 * n) - 1) * if (i =z 0) then r0 else b (i - 1) fi /r(n))) i
            fi _i * x^i)
= (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
            if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
            else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
            fi _i * x^i)
BY
{ (Reduce 0 THEN (BLemma `rpolynomial_functionality`⋅ THENA Auto)) }

1
1. n : ℕ
2. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
3. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
4. a : ℕn - 1 ⟶ ℝ
5. b : ℕn ⟶ ℝ
6. x : ℝ
7. r(n) ≠ r0
8. (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
             if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
             else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
             fi _i * x^i) ∈ ℝ
⊢ λi.if i ≤z n - 2
     then (r((2 * n) - 1) * if (i =z 0) then r0 else b (i - 1) fi /r(n)) - (r(n - 1) * (a i)/r(n))
     else (r((2 * n) - 1) * if (i =z 0) then r0 else b (i - 1) fi /r(n))
     fi [k] = λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
                 if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
                 else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
                 fi [k] for k ∈ [0,n]

2
1. n : ℕ
2. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
3. ¬(n = 1 ∈ ℤ)
4. a : ℕn - 1 ⟶ ℝ
5. b : ℕn ⟶ ℝ
6. x : ℝ
7. r(n) ≠ r0
8. (Σi≤n. λi.if (i =z 0) then (1 - n * a i)/n
             if i <z n - 1 then ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n - (n - 1 * a i)/n
             else ((2 * n) - 1 * b (i - 1))/n
             fi _i * x^i) ∈ ℝ
⊢ x = x

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  \mneg{}(n  =  0)
3.  \mneg{}(n  =  1)
4.  a  :  \mBbbN{}n  -  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  b  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
6.  x  :  \mBbbR{}
7.  r(n)  \mneq{}  r0
8.  (\mSigma{}i\mleq{}n.  \mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  0)  then  (1  -  n  *  a  i)/n
                          if  i  <z  n  -  1  then  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n  -  (n  -  1  *  a  i)/n
                          else  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n
                          fi  \_i  *  x\^{}i)  \mmember{}  \mBbbR{}
\mvdash{}  (\mSigma{}i\mleq{}n.  \mlambda{}i.if  i  \mleq{}z  n  -  2
                        then  ((\mlambda{}i.(r((2  *  n)  -  1)  *  if  (i  =\msubz{}  0)  then  r0  else  b  (i  -  1)  fi  /r(n)))  i) 
                                  -  (\mlambda{}i.(r(n  -  1)  *  (a  i)/r(n)))  i
                        else  (\mlambda{}i.(r((2  *  n)  -  1)  *  if  (i  =\msubz{}  0)  then  r0  else  b  (i  -  1)  fi  /r(n)))  i
                        fi  \_i  *  x\^{}i)
=  (\mSigma{}i\mleq{}n.  \mlambda{}i.if  (i  =\msubz{}  0)  then  (1  -  n  *  a  i)/n
                        if  i  <z  n  -  1  then  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n  -  (n  -  1  *  a  i)/n
                        else  ((2  *  n)  -  1  *  b  (i  -  1))/n
                        fi  \_i  *  x\^{}i)


By

---

Latex:
(Reduce  0  THEN  (BLemma  `rpolynomial\_functionality`\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index