---

Step * 1 1 of Lemma Riemann-integral-rless

.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
⊢ ∃d,c':ℝ. ((r0 < d) ∧ (c' < c) ∧ (∀y:ℝ. ((y ∈ [a, b]) ⇒ (|y - x| ≤ d) ⇒ (f[y] ≤ c'))))
BY
{ (InstLemma `function-is-continuous` [⌜[a, b]⌝;⌜f⌝]⋅ THENA Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
10. x1 : {t:ℝ| t ∈ [a, b]} 
11. y : {t:ℝ| t ∈ [a, b]} 
12. x1 = y
⊢ f[x1] = f[y]

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. c : ℝ
5. ∀x:ℝ. ((x ∈ [a, b]) ⇒ (f[x] ≤ c))
6. x : ℝ
7. x ∈ [a, b]
8. f[x] < c
9. a < b
10. f[x] continuous for x ∈ [a, b]
⊢ ∃d,c':ℝ. ((r0 < d) ∧ (c' < c) ∧ (∀y:ℝ. ((y ∈ [a, b]) ⇒ (|y - x| ≤ d) ⇒ (f[y] ≤ c'))))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  c  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (f[x]  \mleq{}  c))
6.  x  :  \mBbbR{}
7.  x  \mmember{}  [a,  b]
8.  f[x]  <  c
9.  a  <  b
\mvdash{}  \mexists{}d,c':\mBbbR{}.  ((r0  <  d)  \mwedge{}  (c'  <  c)  \mwedge{}  (\mforall{}y:\mBbbR{}.  ((y  \mmember{}  [a,  b])  {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (f[y]  \mleq{}  c'))))


By

---

Latex:
(InstLemma  `function-is-continuous`  [\mkleeneopen{}[a,  b]\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index