---

Step * 1 of Lemma Riemann-sums-converge-no-mc


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. m : ℕ+
5. d : {d:ℝ| r0 < d} 
6. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ (r1/r(m)))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < d
9. ∃M:ℕ+. ((|[a, b]|/r(M)) ≤ d)
⊢ ∃N:ℕ [(∀k,m@0:ℕ.  ((N ≤ k) ⇒ (N ≤ m@0) ⇒ (|Riemann-sum(f;a;b;k + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m@0 + 1)| ≤ (r1/r(m)))))]
BY
{ ((D -1 THEN RenameVar `N' (-2)) THEN D 0 With ⌜N⌝  THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. m : ℕ+
5. d : {d:ℝ| r0 < d} 
6. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ (r1/r(m)))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < d
9. N : ℕ+
10. (|[a, b]|/r(N)) ≤ d
11. k1 : ℕ
12. m@0 : ℕ
13. N ≤ k1
14. N ≤ m@0
⊢ |Riemann-sum(f;a;b;k1 + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m@0 + 1)| ≤ (r1/r(m))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  d  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
6.  \mforall{}p,q:\{p:partition([a,  b])|  partition-mesh([a,  b];p)  \mleq{}  d\}  .
      \mforall{}x:partition-choice(full-partition([a,  b];p)).  \mforall{}y:partition-choice(full-partition([a,  b];q)).
          (|S(f;full-partition([a,  b];q))  -  S(f;full-partition([a,  b];p))|  \mleq{}  (r1/r(m)))
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  (r1/r(k))  <  d
9.  \mexists{}M:\mBbbN{}\msupplus{}.  ((|[a,  b]|/r(M))  \mleq{}  d)
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}  [(\mforall{}k,m@0:\mBbbN{}.
                      ((N  \mleq{}  k)
                      {}\mRightarrow{}  (N  \mleq{}  m@0)
                      {}\mRightarrow{}  (|Riemann-sum(f;a;b;k  +  1)  -  Riemann-sum(f;a;b;m@0  +  1)|  \mleq{}  (r1/r(m)))))]


By

---

Latex:
((D  -1  THEN  RenameVar  `N'  (-2))  THEN  D  0  With  \mkleeneopen{}N\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index