---

Step * 1 1 of Lemma Riemann-sums-converge-no-mc


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. m : ℕ+
5. d : {d:ℝ| r0 < d} 
6. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ (r1/r(m)))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < d
9. N : ℕ+
10. (|[a, b]|/r(N)) ≤ d
11. k1 : ℕ
12. m@0 : ℕ
13. N ≤ k1
14. N ≤ m@0
⊢ |Riemann-sum(f;a;b;k1 + 1) - Riemann-sum(f;a;b;m@0 + 1)| ≤ (r1/r(m))
BY
{ ((Assert icompact([a, b]) BY
          EAuto 1)
   THEN (Unfold `Riemann-sum` 0 THEN RepUR ``let`` 0)
   THEN BackThruSomeHyp
   THEN Auto) }

1
.....wf..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. m : ℕ+
5. d : {d:ℝ| r0 < d} 
6. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ (r1/r(m)))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < d
9. N : ℕ+
10. (|[a, b]|/r(N)) ≤ d
11. k1 : ℕ
12. m@0 : ℕ
13. N ≤ k1
14. N ≤ m@0
15. icompact([a, b])
⊢ uniform-partition([a, b];m@0 + 1) ∈ {p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} 

2
.....wf..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. m : ℕ+
5. d : {d:ℝ| r0 < d} 
6. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ (r1/r(m)))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < d
9. N : ℕ+
10. (|[a, b]|/r(N)) ≤ d
11. k1 : ℕ
12. m@0 : ℕ
13. N ≤ k1
14. N ≤ m@0
15. icompact([a, b])
⊢ uniform-partition([a, b];k1 + 1) ∈ {p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} 

3
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. m : ℕ+
5. d : {d:ℝ| r0 < d} 
6. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ (r1/r(m)))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < d
9. N : ℕ+
10. (|[a, b]|/r(N)) ≤ d
11. k1 : ℕ
12. m@0 : ℕ
13. N ≤ k1
14. N ≤ m@0
15. icompact([a, b])
⊢ frs-non-dec(full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];m@0 + 1)))

4
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. m : ℕ+
5. d : {d:ℝ| r0 < d} 
6. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ (r1/r(m)))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < d
9. N : ℕ+
10. (|[a, b]|/r(N)) ≤ d
11. k1 : ℕ
12. m@0 : ℕ
13. N ≤ k1
14. N ≤ m@0
15. icompact([a, b])
⊢ frs-non-dec(full-partition([a, b];uniform-partition([a, b];k1 + 1)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  d  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
6.  \mforall{}p,q:\{p:partition([a,  b])|  partition-mesh([a,  b];p)  \mleq{}  d\}  .
      \mforall{}x:partition-choice(full-partition([a,  b];p)).  \mforall{}y:partition-choice(full-partition([a,  b];q)).
          (|S(f;full-partition([a,  b];q))  -  S(f;full-partition([a,  b];p))|  \mleq{}  (r1/r(m)))
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  (r1/r(k))  <  d
9.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  (|[a,  b]|/r(N))  \mleq{}  d
11.  k1  :  \mBbbN{}
12.  m@0  :  \mBbbN{}
13.  N  \mleq{}  k1
14.  N  \mleq{}  m@0
\mvdash{}  |Riemann-sum(f;a;b;k1  +  1)  -  Riemann-sum(f;a;b;m@0  +  1)|  \mleq{}  (r1/r(m))


By

---

Latex:
((Assert  icompact([a,  b])  BY
                EAuto  1)
  THEN  (Unfold  `Riemann-sum`  0  THEN  RepUR  ``let``  0)
  THEN  BackThruSomeHyp
  THEN  Auto)

---

Home Index