---

Step * 1 1 1 of Lemma Riemann-sums-converge-no-mc

.....wf..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. m : ℕ+
5. d : {d:ℝ| r0 < d} 
6. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ (r1/r(m)))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < d
9. N : ℕ+
10. (|[a, b]|/r(N)) ≤ d
11. k1 : ℕ
12. m@0 : ℕ
13. N ≤ k1
14. N ≤ m@0
15. icompact([a, b])
⊢ uniform-partition([a, b];m@0 + 1) ∈ {p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} 
BY
{ Assert ⌜(|[a, b]|/r(m@0 + 1)) ≤ (|[a, b]|/r(N))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. m : ℕ+
5. d : {d:ℝ| r0 < d} 
6. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ (r1/r(m)))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < d
9. N : ℕ+
10. (|[a, b]|/r(N)) ≤ d
11. k1 : ℕ
12. m@0 : ℕ
13. N ≤ k1
14. N ≤ m@0
15. icompact([a, b])
⊢ (|[a, b]|/r(m@0 + 1)) ≤ (|[a, b]|/r(N))

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a ≤ b} 
3. f : {f:[a, b] ⟶ℝ| ifun(f;[a, b])} 
4. m : ℕ+
5. d : {d:ℝ| r0 < d} 
6. ∀p,q:{p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition([a, b];p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition([a, b];q)).
     (|S(f;full-partition([a, b];q)) - S(f;full-partition([a, b];p))| ≤ (r1/r(m)))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < d
9. N : ℕ+
10. (|[a, b]|/r(N)) ≤ d
11. k1 : ℕ
12. m@0 : ℕ
13. N ≤ k1
14. N ≤ m@0
15. icompact([a, b])
16. (|[a, b]|/r(m@0 + 1)) ≤ (|[a, b]|/r(N))
⊢ uniform-partition([a, b];m@0 + 1) ∈ {p:partition([a, b])| partition-mesh([a, b];p) ≤ d} 

---

Latex:

---

Latex:
.....wf..... 
1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  \mleq{}  b\} 
3.  f  :  \{f:[a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[a,  b])\} 
4.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  d  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
6.  \mforall{}p,q:\{p:partition([a,  b])|  partition-mesh([a,  b];p)  \mleq{}  d\}  .
      \mforall{}x:partition-choice(full-partition([a,  b];p)).  \mforall{}y:partition-choice(full-partition([a,  b];q)).
          (|S(f;full-partition([a,  b];q))  -  S(f;full-partition([a,  b];p))|  \mleq{}  (r1/r(m)))
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  (r1/r(k))  <  d
9.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
10.  (|[a,  b]|/r(N))  \mleq{}  d
11.  k1  :  \mBbbN{}
12.  m@0  :  \mBbbN{}
13.  N  \mleq{}  k1
14.  N  \mleq{}  m@0
15.  icompact([a,  b])
\mvdash{}  uniform-partition([a,  b];m@0  +  1)  \mmember{}  \{p:partition([a,  b])|  partition-mesh([a,  b];p)  \mleq{}  d\} 


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}(|[a,  b]|/r(m@0  +  1))  \mleq{}  (|[a,  b]|/r(N))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index