---

Step * 1 1 1 2 1 1 of Lemma arcsin-shift


1. x : {x:ℝ| x ∈ [r(-1), r1]} 
2. r0 ≤ (r1 - x * x)
3. r0 ≤ x
4. (r1 - x * x) ≤ r1
5. rsqrt(r1 - x * x) ≤ r1
6. r0 ≤ rsqrt(r1 - x * x)
7. r(-1) ≤ r0
8. arcsin(rsqrt(r1 - x * x)) ∈ ℝ
9. x < r1
10. r0 < x
11. x ∈ {x:ℝ| x ∈ (r(-1), r1)} 
12. r(-1) < r0
13. r(-1) < rsqrt(r1 - x * x)
⊢ rsqrt(r1 - x * x) < r1
BY
{ ((Assert (r1 - x * x) < r1 BY (nRMul ⌜x⌝ (-4)⋅ THEN Auto)) THEN (RWO "rsqrt-rless-iff" (-1) THENA Auto)) }

1
1. x : {x:ℝ| x ∈ [r(-1), r1]} 
2. r0 ≤ (r1 - x * x)
3. r0 ≤ x
4. (r1 - x * x) ≤ r1
5. rsqrt(r1 - x * x) ≤ r1
6. r0 ≤ rsqrt(r1 - x * x)
7. r(-1) ≤ r0
8. arcsin(rsqrt(r1 - x * x)) ∈ ℝ
9. x < r1
10. r0 < x
11. x ∈ {x:ℝ| x ∈ (r(-1), r1)} 
12. r(-1) < r0
13. r(-1) < rsqrt(r1 - x * x)
14. rsqrt(r1 - x * x) < rsqrt(r1)
⊢ rsqrt(r1 - x * x) < r1

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r(-1),  r1]\} 
2.  r0  \mleq{}  (r1  -  x  *  x)
3.  r0  \mleq{}  x
4.  (r1  -  x  *  x)  \mleq{}  r1
5.  rsqrt(r1  -  x  *  x)  \mleq{}  r1
6.  r0  \mleq{}  rsqrt(r1  -  x  *  x)
7.  r(-1)  \mleq{}  r0
8.  arcsin(rsqrt(r1  -  x  *  x))  \mmember{}  \mBbbR{}
9.  x  <  r1
10.  r0  <  x
11.  x  \mmember{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (r(-1),  r1)\} 
12.  r(-1)  <  r0
13.  r(-1)  <  rsqrt(r1  -  x  *  x)
\mvdash{}  rsqrt(r1  -  x  *  x)  <  r1


By

---

Latex:
((Assert  (r1  -  x  *  x)  <  r1  BY
                (nRMul  \mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}  (-4)\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "rsqrt-rless-iff"  (-1)  THENA  Auto)
  )

---

Home Index