---

Step * 1 2 of Lemma arcsin-shift


1. x : {x:ℝ| x ∈ [r(-1), r1]} 
2. r0 ≤ (r1 - x * x)
3. r0 ≤ x
4. (r1 - x * x) ≤ r1
5. rsqrt(r1 - x * x) ≤ r1
6. r0 ≤ rsqrt(r1 - x * x)
7. r(-1) ≤ r0
8. arcsin(rsqrt(r1 - x * x)) ∈ ℝ
9. ¬(x < r1)
⊢ arcsin(x) = (π/2 - arcsin(rsqrt(r1 - x * x)))
BY
{ ((FLemma `not-rless` [-1] THENA Auto)
   THEN (Assert x = r1 BY
               (BLemma `rleq_antisymmetry` THEN Auto))
   THEN (Assert rsqrt(r1 - x * x) = r0 BY
               ((RWO  "rsqrt-is-zero" 0 THEN Auto) THEN RWO "-1" 0 THEN Auto))
   THEN (Assert rsqrt(r1 - x * x) ∈ {x:ℝ| x ∈ [r(-1), r1]}  BY
               (MemTypeCD THEN Reduce 0 THEN Auto))
   THEN (Assert arcsin(rsqrt(r1 - x * x)) = r0 BY
               (RWO "-2" 0 THEN Auto))
   THEN (RWO  "-1" 0 THENA Auto)
   THEN RWW "-4 arcsin1" 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r(-1),  r1]\} 
2.  r0  \mleq{}  (r1  -  x  *  x)
3.  r0  \mleq{}  x
4.  (r1  -  x  *  x)  \mleq{}  r1
5.  rsqrt(r1  -  x  *  x)  \mleq{}  r1
6.  r0  \mleq{}  rsqrt(r1  -  x  *  x)
7.  r(-1)  \mleq{}  r0
8.  arcsin(rsqrt(r1  -  x  *  x))  \mmember{}  \mBbbR{}
9.  \mneg{}(x  <  r1)
\mvdash{}  arcsin(x)  =  (\mpi{}/2  -  arcsin(rsqrt(r1  -  x  *  x)))


By

---

Latex:
((FLemma  `not-rless`  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  x  =  r1  BY
                          (BLemma  `rleq\_antisymmetry`  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  rsqrt(r1  -  x  *  x)  =  r0  BY
                          ((RWO    "rsqrt-is-zero"  0  THEN  Auto)  THEN  RWO  "-1"  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  rsqrt(r1  -  x  *  x)  \mmember{}  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [r(-1),  r1]\}    BY
                          (MemTypeCD  THEN  Reduce  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  arcsin(rsqrt(r1  -  x  *  x))  =  r0  BY
                          (RWO  "-2"  0  THEN  Auto))
  THEN  (RWO    "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  RWW  "-4  arcsin1"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index