---

Step * 1 1 1 1 of Lemma arcsine-contraction-difference


1. a : ℝ
2. r(-1) < a
3. a < r1
4. x : ℝ
5. y : ℝ
6. r0 ≤ (r1 - a * a)
7. ∀c:ℝ
     ((∀x:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} . (|r1 + ((a * -(rsin(x))) - rsqrt(r1 - a * a) * rcos(x))| ≤ c))
     ⇒ (∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} .  (|arcsine-contraction(a;x) - arcsine-contraction(a;y)| ≤ (c * |x - y|))))
8. x1 : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
9. (|a| * |rsin(x1)|) ≤ r1
⊢ (|r1| + r1 + (|rsqrt(r1 - a * a)| * |rcos(x1)|)) ≤ r(3)
BY
{ ((Assert (|rsqrt(r1 - a * a)| * |rcos(x1)|) ≤ r1 BY
          ((RWO "rmul_comm" 0 THENA Auto)
           THEN (RWO "rabs-rcos-rleq" 0 THENA Auto)
           THEN ((nRNorm 0 THENA Auto) THEN (RWO "rabs-of-nonneg" 0 THENA Auto))
           THEN (BLemma `square-rleq-implies` THEN Auto)
           THEN (RWO  "rsqrt-rnexp-2" 0 THENA Auto)
           THEN RWO  "rnexp2" 0
           THEN Auto
           THEN nRAdd ⌜a * a⌝ 0⋅
           THEN (Assert r0 ≤ (a * a) BY
                       Auto)
           THEN RWO  "-1<" 0
           THEN Auto))
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
   THEN RWW "rabs-of-nonneg radd-int" 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  r(-1)  <  a
3.  a  <  r1
4.  x  :  \mBbbR{}
5.  y  :  \mBbbR{}
6.  r0  \mleq{}  (r1  -  a  *  a)
7.  \mforall{}c:\mBbbR{}
          ((\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\}  .  (|r1  +  ((a  *  -(rsin(x)))  -  rsqrt(r1  -  a  *  a)  *  rcos(x))|  \mleq{}  c))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\}  .
                      (|arcsine-contraction(a;x)  -  arcsine-contraction(a;y)|  \mleq{}  (c  *  |x  -  y|))))
8.  x1  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
9.  (|a|  *  |rsin(x1)|)  \mleq{}  r1
\mvdash{}  (|r1|  +  r1  +  (|rsqrt(r1  -  a  *  a)|  *  |rcos(x1)|))  \mleq{}  r(3)


By

---

Latex:
((Assert  (|rsqrt(r1  -  a  *  a)|  *  |rcos(x1)|)  \mleq{}  r1  BY
                ((RWO  "rmul\_comm"  0  THENA  Auto)
                  THEN  (RWO  "rabs-rcos-rleq"  0  THENA  Auto)
                  THEN  ((nRNorm  0  THENA  Auto)  THEN  (RWO  "rabs-of-nonneg"  0  THENA  Auto))
                  THEN  (BLemma  `square-rleq-implies`  THEN  Auto)
                  THEN  (RWO    "rsqrt-rnexp-2"  0  THENA  Auto)
                  THEN  RWO    "rnexp2"  0
                  THEN  Auto
                  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}a  *  a\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                  THEN  (Assert  r0  \mleq{}  (a  *  a)  BY
                                          Auto)
                  THEN  RWO    "-1<"  0
                  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  RWW  "rabs-of-nonneg  radd-int"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index