---

Step * 1 1 of Lemma arctan-poly-approx-1


1. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
2. ∀x:ℝ. -(x^2) ≠ r1
3. x : {x:ℝ| r0 ≤ x} 
4. k : ℕ
5. r0_∫-x (r1/r1 + x^2) - Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k} dx = (arctangent(x) - r0_∫-x Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k} dx)
⊢ arctan-poly(x;k) = r0_∫-x Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k} dx
BY
{ (RWO "integral-rsum" 0 THEN Auto) }

1
.....wf..... 
1. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
2. ∀x:ℝ. -(x^2) ≠ r1
3. x : {x:ℝ| r0 ≤ x} 
4. k : ℕ
5. r0_∫-x (r1/r1 + x^2) - Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k} dx = (arctangent(x) - r0_∫-x Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k} dx)
⊢ λi,x. -(x^2)^i ∈ {f:ℕk + 1 ⟶ [rmin(r0;x), rmax(r0;x)] ⟶ℝ| ∀i:ℕk + 1. ifun(λx.f[i;x];[rmin(r0;x), rmax(r0;x)])} 

2
1. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
2. ∀x:ℝ. -(x^2) ≠ r1
3. x : {x:ℝ| r0 ≤ x} 
4. k : ℕ
5. r0_∫-x (r1/r1 + x^2) - Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k} dx = (arctangent(x) - r0_∫-x Σ{-(x^2)^i | 0≤i≤k} dx)
⊢ arctan-poly(x;k) = Σ{r0_∫-x -(x^2)^i dx | 0≤i≤k}

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (r1  +  x\^{}2))
2.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  -(x\^{}2)  \mneq{}  r1
3.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  x\} 
4.  k  :  \mBbbN{}
5.  r0\_\mint{}\msupminus{}x  (r1/r1  +  x\^{}2)  -  \mSigma{}\{-(x\^{}2)\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  dx  =  (arctangent(x)  -  r0\_\mint{}\msupminus{}x  \mSigma{}\{-(x\^{}2)\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  dx)
\mvdash{}  arctan-poly(x;k)  =  r0\_\mint{}\msupminus{}x  \mSigma{}\{-(x\^{}2)\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  dx


By

---

Latex:
(RWO  "integral-rsum"  0  THEN  Auto)

---

Home Index