---

Step * 1 1 2 of Lemma arctangent-reduction

.....antecedent..... 
1. B : {B:ℝ| r0 < B} 
2. x : {x:ℝ| (r(-1)/B) < x} 
3. ∀x:{x:ℝ| (r(-1)/B) < x} . (r0 < (r1 + (x * B)))
4. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (-∞, ∞)
⊢ d(arctangent(B) + arctangent((x - B/r1 + (x * B))))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on ((r(-1)/B), ∞)
BY
{ ((Assert ∀x1:{x:ℝ| x ∈ ((r(-1)/B), ∞)} . (r0 < r1 + (x1 * B)^2) BY
          (Auto THEN BLemma `rnexp-positive` THEN Auto))
   THEN (InstLemma `arctangent-chain-rule`
          [⌜((r(-1)/B), ∞)⌝;⌜λ2x.(x - B/r1 + (x * B))⌝; ⌜λ2x.(r1 + (B * B)/r1 + (x * B)^2)⌝]⋅
         THENA Auto
         )
   ) }

1
.....antecedent..... 
1. B : {B:ℝ| r0 < B} 
2. x : {x:ℝ| (r(-1)/B) < x} 
3. ∀x:{x:ℝ| (r(-1)/B) < x} . (r0 < (r1 + (x * B)))
4. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (-∞, ∞)
6. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ ((r(-1)/B), ∞)} . (r0 < r1 + (x1 * B)^2)
⊢ d((x - B/r1 + (x * B)))/dx = λx.(r1 + (B * B)/r1 + (x * B)^2) on ((r(-1)/B), ∞)

2
1. B : {B:ℝ| r0 < B} 
2. x : {x:ℝ| (r(-1)/B) < x} 
3. ∀x:{x:ℝ| (r(-1)/B) < x} . (r0 < (r1 + (x * B)))
4. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (-∞, ∞)
6. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ ((r(-1)/B), ∞)} . (r0 < r1 + (x1 * B)^2)
7. d(arctangent((x - B/r1 + (x * B))))/dx = λx.((r1 + (B * B)/r1 + (x * B)^2)/r1
+ (x - B/r1 + (x * B))^2) on ((r(-1)/B), ∞)
⊢ d(arctangent(B) + arctangent((x - B/r1 + (x * B))))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on ((r(-1)/B), ∞)

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  B  :  \{B:\mBbbR{}|  r0  <  B\} 
2.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (r(-1)/B)  <  x\} 
3.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r(-1)/B)  <  x\}  .  (r0  <  (r1  +  (x  *  B)))
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (r1  +  x\^{}2))
5.  d(arctangent(x))/dx  =  \mlambda{}x.(r1/r1  +  x\^{}2)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
\mvdash{}  d(arctangent(B)  +  arctangent((x  -  B/r1  +  (x  *  B))))/dx  =  \mlambda{}x.(r1/r1  +  x\^{}2)  on  ((r(-1)/B),  \minfty{})


By

---

Latex:
((Assert  \mforall{}x1:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  ((r(-1)/B),  \minfty{})\}  .  (r0  <  r1  +  (x1  *  B)\^{}2)  BY
                (Auto  THEN  BLemma  `rnexp-positive`  THEN  Auto))
  THEN  (InstLemma  `arctangent-chain-rule`
                [\mkleeneopen{}((r(-1)/B),  \minfty{})\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.(x  -  B/r1  +  (x  *  B))\mkleeneclose{};  \mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.(r1  +  (B  *  B)/r1  +  (x  *  B)\^{}2)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  )

---

Home Index