---

Step * 1 1 of Lemma arctangent-reduction


1. B : {B:ℝ| r0 < B} 
2. x : {x:ℝ| (r(-1)/B) < x} 
3. ∀x:{x:ℝ| (r(-1)/B) < x} . (r0 < (r1 + (x * B)))
4. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (-∞, ∞)
⊢ arctangent(x) = (arctangent(B) + arctangent((x - B/r1 + (x * B))))
BY
{ (InstLemma `antiderivatives-equal` 
   [⌜((r(-1)/B), ∞)⌝;⌜λ2x.(r1/r1 + x^2)⌝;⌜λ2x.arctangent(x)⌝;⌜λ2x.arctangent(B) + arctangent((x - B/r1 + (x * B)))⌝]⋅
   THEN Auto
   ) }

1
.....antecedent..... 
1. B : {B:ℝ| r0 < B} 
2. x : {x:ℝ| (r(-1)/B) < x} 
3. ∀x:{x:ℝ| (r(-1)/B) < x} . (r0 < (r1 + (x * B)))
4. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (-∞, ∞)
⊢ d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on ((r(-1)/B), ∞)

2
.....antecedent..... 
1. B : {B:ℝ| r0 < B} 
2. x : {x:ℝ| (r(-1)/B) < x} 
3. ∀x:{x:ℝ| (r(-1)/B) < x} . (r0 < (r1 + (x * B)))
4. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (-∞, ∞)
⊢ d(arctangent(B) + arctangent((x - B/r1 + (x * B))))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on ((r(-1)/B), ∞)

3
.....antecedent..... 
1. B : {B:ℝ| r0 < B} 
2. x : {x:ℝ| (r(-1)/B) < x} 
3. ∀x:{x:ℝ| (r(-1)/B) < x} . (r0 < (r1 + (x * B)))
4. ∀x:ℝ. (r0 < (r1 + x^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (-∞, ∞)
⊢ ∃x:{x:ℝ| x ∈ ((r(-1)/B), ∞)} . (arctangent(x) = (arctangent(B) + arctangent((x - B/r1 + (x * B)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  B  :  \{B:\mBbbR{}|  r0  <  B\} 
2.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  (r(-1)/B)  <  x\} 
3.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  (r(-1)/B)  <  x\}  .  (r0  <  (r1  +  (x  *  B)))
4.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (r0  <  (r1  +  x\^{}2))
5.  d(arctangent(x))/dx  =  \mlambda{}x.(r1/r1  +  x\^{}2)  on  (-\minfty{},  \minfty{})
\mvdash{}  arctangent(x)  =  (arctangent(B)  +  arctangent((x  -  B/r1  +  (x  *  B))))


By

---

Latex:
(InstLemma  `antiderivatives-equal` 
  [\mkleeneopen{}((r(-1)/B),  \minfty{})\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.(r1/r1  +  x\^{}2)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.arctangent(x)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mlambda{}\msubtwo{}x.arctangent(B)
                                                                                                                        +  arctangent((x  -  B/r1  +  (x  *  B)))\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  )

---

Home Index