---

Step * 1 1 1 1 1 of Lemma arctangent-rinv


1. x : {x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} 
2. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} . (r0 < x1^2)
3. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} . (r1 < (r1 + x1^2))
4. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} . (r0 < (r1 + x1^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (r0, ∞)
6. d(arctangent((r1/x)))/dx = λx.((r(-1)/x^2)/r1 + (r1/x)^2) on (r0, ∞)
7. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} . (r0 < (r1 + (r1/x1)^2))
⊢ d(arctangent((r1/x)) + arctangent(x))/dx = λx.r0 on (r0, ∞)
BY
{ (Assert d(arctangent((r1/x)) + arctangent(x))/dx = λx.((r(-1)/x^2)/r1 + (r1/x)^2) + (r1/r1 + x^2) on (r0, ∞) BY
         (ProveDerivative THEN Auto)) }

1
.....aux..... 
1. x : {x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} 
2. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} . (r0 < x1^2)
3. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} . (r1 < (r1 + x1^2))
4. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} . (r0 < (r1 + x1^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (r0, ∞)
6. d(arctangent((r1/x)))/dx = λx.((r(-1)/x^2)/r1 + (r1/x)^2) on (r0, ∞)
7. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} . (r0 < (r1 + (r1/x1)^2))
8. x1 : {x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} 
⊢ r1 + (r1/x1)^2 ≠ r0

2
1. x : {x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} 
2. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} . (r0 < x1^2)
3. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} . (r1 < (r1 + x1^2))
4. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} . (r0 < (r1 + x1^2))
5. d(arctangent(x))/dx = λx.(r1/r1 + x^2) on (r0, ∞)
6. d(arctangent((r1/x)))/dx = λx.((r(-1)/x^2)/r1 + (r1/x)^2) on (r0, ∞)
7. ∀x1:{x:ℝ| x ∈ (r0, ∞)} . (r0 < (r1 + (r1/x1)^2))
8. d(arctangent((r1/x)) + arctangent(x))/dx = λx.((r(-1)/x^2)/r1 + (r1/x)^2) + (r1/r1 + x^2) on (r0, ∞)
⊢ d(arctangent((r1/x)) + arctangent(x))/dx = λx.r0 on (r0, ∞)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (r0,  \minfty{})\} 
2.  \mforall{}x1:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (r0,  \minfty{})\}  .  (r0  <  x1\^{}2)
3.  \mforall{}x1:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (r0,  \minfty{})\}  .  (r1  <  (r1  +  x1\^{}2))
4.  \mforall{}x1:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (r0,  \minfty{})\}  .  (r0  <  (r1  +  x1\^{}2))
5.  d(arctangent(x))/dx  =  \mlambda{}x.(r1/r1  +  x\^{}2)  on  (r0,  \minfty{})
6.  d(arctangent((r1/x)))/dx  =  \mlambda{}x.((r(-1)/x\^{}2)/r1  +  (r1/x)\^{}2)  on  (r0,  \minfty{})
7.  \mforall{}x1:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (r0,  \minfty{})\}  .  (r0  <  (r1  +  (r1/x1)\^{}2))
\mvdash{}  d(arctangent((r1/x))  +  arctangent(x))/dx  =  \mlambda{}x.r0  on  (r0,  \minfty{})


By

---

Latex:
(Assert  d(arctangent((r1/x))  +  arctangent(x))/dx  =  \mlambda{}x.((r(-1)/x\^{}2)/r1  +  (r1/x)\^{}2)
              +  (r1/r1  +  x\^{}2)  on  (r0,  \minfty{})  BY
              (ProveDerivative  THEN  Auto))

---

Home Index