---

Step * 2 1 of Lemma atan-approx-property


1. k : ℕ
2. x : ℝ
3. N : ℕ+
4. |x| ≤ (r1/r(2))
5. |x * x| ≤ (r1/r(4))
6. 1-approx(Σ{(r(if (i rem 2 =z 0) then 1 else -1 fi ))/(2 * i) + 1 * x * x^i | 0≤i≤k};2
* N;poly-approx(λi.(r(if (i rem 2 =z 0) then 1 else -1 fi ))/(2 * i) + 1;x * x;k;2 * N))
⊢ 1-approx(arctan-poly(x;k);N;eval u = poly-approx(λi.(r(if (i rem 2 =z 0) then 1 else -1 fi ))/(2 * i) + 1;x * x;k;2
                                       * N) in
                              eval b = |u| + 1 in
                              eval z = x b in
                                (u * z) ÷ 4 * b)
BY
{ (Assert (x * Σ{(r(if (i rem 2 =z 0) then 1 else -1 fi ))/(2 * i) + 1 * x * x^i | 0≤i≤k}) = arctan-poly(x;k) BY
         ((RWO "rsum_linearity2<" 0 THENA Auto)
          THEN Unfold `arctan-poly` 0
          THEN BLemma `rsum_functionality`
          THEN Auto
          THEN D 0
          THEN Auto
          THEN AutoSplit
          THEN (RWW "rnexp-add1 rnexp2< rnexp-mul" 0 THENA Auto)
          THEN (GenConcl ⌜(2 * i) = m ∈ ℕ⌝⋅ THENA Auto)
          THEN (RWO "int-rdiv-req" 0 THENA Auto)
          THEN nRMul ⌜r(m + 1)⌝ 0⋅
          THEN Auto)) }

1
1. k : ℕ
2. x : ℝ
3. N : ℕ+
4. |x| ≤ (r1/r(2))
5. |x * x| ≤ (r1/r(4))
6. 1-approx(Σ{(r(if (i rem 2 =z 0) then 1 else -1 fi ))/(2 * i) + 1 * x * x^i | 0≤i≤k};2
* N;poly-approx(λi.(r(if (i rem 2 =z 0) then 1 else -1 fi ))/(2 * i) + 1;x * x;k;2 * N))
7. (x * Σ{(r(if (i rem 2 =z 0) then 1 else -1 fi ))/(2 * i) + 1 * x * x^i | 0≤i≤k}) = arctan-poly(x;k)
⊢ 1-approx(arctan-poly(x;k);N;eval u = poly-approx(λi.(r(if (i rem 2 =z 0) then 1 else -1 fi ))/(2 * i) + 1;x * x;k;2
                                       * N) in
                              eval b = |u| + 1 in
                              eval z = x b in
                                (u * z) ÷ 4 * b)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  x  :  \mBbbR{}
3.  N  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  |x|  \mleq{}  (r1/r(2))
5.  |x  *  x|  \mleq{}  (r1/r(4))
6.  1-approx(\mSigma{}\{(r(if  (i  rem  2  =\msubz{}  0)  then  1  else  -1  fi  ))/(2  *  i)  +  1  *  x  *  x\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\};2
*  N;poly-approx(\mlambda{}i.(r(if  (i  rem  2  =\msubz{}  0)  then  1  else  -1  fi  ))/(2  *  i)  +  1;x  *  x;k;2  *  N))
\mvdash{}  1-approx(arctan-poly(x;k);N;eval  u  =  poly-approx(\mlambda{}i.(r(if  (i  rem  2  =\msubz{}  0)  then  1  else  -1  fi  ))/(2
                                                                                                            *  i)
                                                                                                            +  1;x  *  x;k;2  *  N)  in
                                                            eval  b  =  |u|  +  1  in
                                                            eval  z  =  x  b  in
                                                                (u  *  z)  \mdiv{}  4  *  b)


By

---

Latex:
(Assert  (x  *  \mSigma{}\{(r(if  (i  rem  2  =\msubz{}  0)  then  1  else  -1  fi  ))/(2  *  i)  +  1  *  x  *  x\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\})
              =  arctan-poly(x;k)  BY
              ((RWO  "rsum\_linearity2<"  0  THENA  Auto)
                THEN  Unfold  `arctan-poly`  0
                THEN  BLemma  `rsum\_functionality`
                THEN  Auto
                THEN  D  0
                THEN  Auto
                THEN  AutoSplit
                THEN  (RWW  "rnexp-add1  rnexp2<  rnexp-mul"  0  THENA  Auto)
                THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(2  *  i)  =  m\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  (RWO  "int-rdiv-req"  0  THENA  Auto)
                THEN  nRMul  \mkleeneopen{}r(m  +  1)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                THEN  Auto))

---

Home Index