---

Step * 1 1 1 2 1 1 of Lemma cos-sin-equation-non-constant3


1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. g : ℝ ⟶ ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. ∀x,y:ℝ.  (f(x - y) = ((f(x) * f(y)) + (g(x) * g(y))))
6. ¬¬(∃a:ℝ. (a ≠ r0 ∧ (∀x:ℝ. (f(x) = rcos(a * x))) ∧ (∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x)))))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((g x) = (g y)))
8. b : ℝ
9. r0_∫-b -(g(x)) dx ≠ r0
10. f(b) ≠ r1
11. f(b) - r1 ≠ r0
12. a : ℝ
13. a ≠ r0
14. ∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x))
15. f(r0) = r1
16. r0_∫-b -(g(t)) dt = ((f(b)/a) - (r1/a))
⊢ a = (f(b) - f(r0)/r0_∫-b -(g(x)) dx)
BY
{ ((Assert ((f(b)/a) - (r1/a)) = (f(b) - r1/a) BY
          (nRMul ⌜a⌝ 0⋅ THEN Auto))
   THEN (RWO "-1" (-2) THENA Auto)
   THEN Thin (-1)
   THEN (Assert r0_∫-b -(g(x)) dx ≠ r0 BY
               (MoveToConcl (-1)
                THEN MoveToConcl (-6)
                THEN GenConclTerm ⌜f(b) - r1⌝⋅
                THEN Auto
                THEN RWO "-1" 0
                THEN Auto))) }

1
1. f : ℝ ⟶ ℝ
2. g : ℝ ⟶ ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
4. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (g(x) = g(y)))
5. ∀x,y:ℝ.  (f(x - y) = ((f(x) * f(y)) + (g(x) * g(y))))
6. ¬¬(∃a:ℝ. (a ≠ r0 ∧ (∀x:ℝ. (f(x) = rcos(a * x))) ∧ (∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x)))))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ ((g x) = (g y)))
8. b : ℝ
9. r0_∫-b -(g(x)) dx ≠ r0
10. f(b) ≠ r1
11. f(b) - r1 ≠ r0
12. a : ℝ
13. a ≠ r0
14. ∀x:ℝ. (g(x) = rsin(a * x))
15. f(r0) = r1
16. r0_∫-b -(g(t)) dt = (f(b) - r1/a)
17. r0_∫-b -(g(x)) dx ≠ r0
⊢ a = (f(b) - f(r0)/r0_∫-b -(g(x)) dx)

---

Latex:

---

Latex:

1.  f  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  g  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y)))
4.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (g(x)  =  g(y)))
5.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    (f(x  -  y)  =  ((f(x)  *  f(y))  +  (g(x)  *  g(y))))
6.  \mneg{}\mneg{}(\mexists{}a:\mBbbR{}.  (a  \mneq{}  r0  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (f(x)  =  rcos(a  *  x)))  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (g(x)  =  rsin(a  *  x)))))
7.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((g  x)  =  (g  y)))
8.  b  :  \mBbbR{}
9.  r0\_\mint{}\msupminus{}b  -(g(x))  dx  \mneq{}  r0
10.  f(b)  \mneq{}  r1
11.  f(b)  -  r1  \mneq{}  r0
12.  a  :  \mBbbR{}
13.  a  \mneq{}  r0
14.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  (g(x)  =  rsin(a  *  x))
15.  f(r0)  =  r1
16.  r0\_\mint{}\msupminus{}b  -(g(t))  dt  =  ((f(b)/a)  -  (r1/a))
\mvdash{}  a  =  (f(b)  -  f(r0)/r0\_\mint{}\msupminus{}b  -(g(x))  dx)


By

---

Latex:
((Assert  ((f(b)/a)  -  (r1/a))  =  (f(b)  -  r1/a)  BY
                (nRMul  \mkleeneopen{}a\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  (RWO  "-1"  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  (Assert  r0\_\mint{}\msupminus{}b  -(g(x))  dx  \mneq{}  r0  BY
                          (MoveToConcl  (-1)
                            THEN  MoveToConcl  (-6)
                            THEN  GenConclTerm  \mkleeneopen{}f(b)  -  r1\mkleeneclose{}\mcdot{}
                            THEN  Auto
                            THEN  RWO  "-1"  0
                            THEN  Auto)))

---

Home Index