---

Step * 1 2 2 1 3 of Lemma derivative-of-integral

.....wf..... 
1. I : Interval
2. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
3. f : {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
4. k : ℕ+
5. n : ℕ+
6. icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| = |x_∫-y f[t] - f[x] dt|))
8. del : ℝ
9. (r0 < del)
∧ (∀x,y:ℝ.
     ((x ∈ i-approx(I;n))
     ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
     ⇒ (|y - x| ≤ del)
     ⇒ (|x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|))))
10. d1 : ℝ
⊢ istype((r0 < d1)
∧ (∀x,y:ℝ.
     ((x ∈ i-approx(I;n))
     ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
     ⇒ (|y - x| ≤ d1)
     ⇒ (|a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|)))))
BY
{ (RepeatFor 6 (D 0 THENL [Auto;Id]) THEN RenameVar `%%' (-6) THEN RenameVar `x' (-5)) }

1
1. I : Interval
2. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
3. f : {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
4. k : ℕ+
5. n : ℕ+
6. icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| = |x_∫-y f[t] - f[x] dt|))
8. del : ℝ
9. (r0 < del)
∧ (∀x,y:ℝ.
     ((x ∈ i-approx(I;n))
     ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
     ⇒ (|y - x| ≤ del)
     ⇒ (|x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|))))
10. d1 : ℝ
11. r0 < d1
12. x : ℝ
13. y : ℝ
14. x2 : x ∈ i-approx(I;n)
15. x3 : y ∈ i-approx(I;n)
16. x4 : |y - x| ≤ d1
⊢ istype(|a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|))

---

Latex:

---

Latex:
.....wf..... 
1.  I  :  Interval
2.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
3.  f  :  \{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))\} 
4.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  icompact(i-approx(I;n))  \mwedge{}  iproper(i-approx(I;n))
7.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  I)
          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)
          {}\mRightarrow{}  (|a\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  dt  -  a\_\mint{}\msupminus{}x  f[t]  dt  -  f[x]  *  (y  -  x)|  =  |x\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  -  f[x]  dt|))
8.  del  :  \mBbbR{}
9.  (r0  <  del)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
          {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  del)
          {}\mRightarrow{}  (|x\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  -  f[x]  dt|  \mleq{}  ((r1/r(k))  *  |y  -  x|))))
10.  d1  :  \mBbbR{}
\mvdash{}  istype((r0  <  d1)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
          {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  d1)
          {}\mRightarrow{}  (|a\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  dt  -  a\_\mint{}\msupminus{}x  f[t]  dt  -  f[x]  *  (y  -  x)|  \mleq{}  ((r1/r(k))  *  |y  -  x|)))))


By

---

Latex:
(RepeatFor  6  (D  0  THENL  [Auto;Id])  THEN  RenameVar  `\%\%'  (-6)  THEN  RenameVar  `x'  (-5))

---

Home Index