---

Step * 1 2 2 1 3 1 of Lemma derivative-of-integral


1. I : Interval
2. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
3. f : {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
4. k : ℕ+
5. n : ℕ+
6. icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| = |x_∫-y f[t] - f[x] dt|))
8. del : ℝ
9. (r0 < del)
∧ (∀x,y:ℝ.
     ((x ∈ i-approx(I;n))
     ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
     ⇒ (|y - x| ≤ del)
     ⇒ (|x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|))))
10. d1 : ℝ
11. r0 < d1
12. x : ℝ
13. y : ℝ
14. x2 : x ∈ i-approx(I;n)
15. x3 : y ∈ i-approx(I;n)
16. x4 : |y - x| ≤ d1
⊢ istype(|a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|))
BY
{ (Assert a_∫-y f[t] dt ∈ ℝ BY
         ((Assert i-approx(I;n) ⊆ I  BY
                 Auto)
          THEN (Assert λt.f[t] ∈ {f:[rmin(a;y), rmax(a;y)] ⟶ℝ| ifun(f;[rmin(a;y), rmax(a;y)])}  BY
                      ((InstLemma `rmin-rmax-subinterval` [⌜I⌝;⌜a⌝;⌜y⌝]⋅ THENA Auto)
                       THEN DVar `f'
                       THEN MemTypeCD
                       THEN Auto
                       THEN D 0
                       THEN Reduce 0
                       THEN Auto))
          THEN Auto)) }

1
1. I : Interval
2. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
3. f : {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
4. k : ℕ+
5. n : ℕ+
6. icompact(i-approx(I;n)) ∧ iproper(i-approx(I;n))
7. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| = |x_∫-y f[t] - f[x] dt|))
8. del : ℝ
9. (r0 < del)
∧ (∀x,y:ℝ.
     ((x ∈ i-approx(I;n))
     ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
     ⇒ (|y - x| ≤ del)
     ⇒ (|x_∫-y f[t] - f[x] dt| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|))))
10. d1 : ℝ
11. r0 < d1
12. x : ℝ
13. y : ℝ
14. x2 : x ∈ i-approx(I;n)
15. x3 : y ∈ i-approx(I;n)
16. x4 : |y - x| ≤ d1
17. a_∫-y f[t] dt ∈ ℝ
⊢ istype(|a_∫-y f[t] dt - a_∫-x f[t] dt - f[x] * (y - x)| ≤ ((r1/r(k)) * |y - x|))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
3.  f  :  \{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))\} 
4.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  icompact(i-approx(I;n))  \mwedge{}  iproper(i-approx(I;n))
7.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  I)
          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)
          {}\mRightarrow{}  (|a\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  dt  -  a\_\mint{}\msupminus{}x  f[t]  dt  -  f[x]  *  (y  -  x)|  =  |x\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  -  f[x]  dt|))
8.  del  :  \mBbbR{}
9.  (r0  <  del)
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
          ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
          {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
          {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  del)
          {}\mRightarrow{}  (|x\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  -  f[x]  dt|  \mleq{}  ((r1/r(k))  *  |y  -  x|))))
10.  d1  :  \mBbbR{}
11.  r0  <  d1
12.  x  :  \mBbbR{}
13.  y  :  \mBbbR{}
14.  x2  :  x  \mmember{}  i-approx(I;n)
15.  x3  :  y  \mmember{}  i-approx(I;n)
16.  x4  :  |y  -  x|  \mleq{}  d1
\mvdash{}  istype(|a\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  dt  -  a\_\mint{}\msupminus{}x  f[t]  dt  -  f[x]  *  (y  -  x)|  \mleq{}  ((r1/r(k))  *  |y  -  x|))


By

---

Latex:
(Assert  a\_\mint{}\msupminus{}y  f[t]  dt  \mmember{}  \mBbbR{}  BY
              ((Assert  i-approx(I;n)  \msubseteq{}  I    BY
                              Auto)
                THEN  (Assert  \mlambda{}t.f[t]  \mmember{}  \{f:[rmin(a;y),  rmax(a;y)]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;[rmin(a;y),  rmax(a;y)])\}    BY
                                        ((InstLemma  `rmin-rmax-subinterval`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
                                          THEN  DVar  `f'
                                          THEN  MemTypeCD
                                          THEN  Auto
                                          THEN  D  0
                                          THEN  Reduce  0
                                          THEN  Auto))
                THEN  Auto))

---

Home Index