---

Step * 2 2 1 1 of Lemma derivative-rexp


1. lim n→∞.Σ{(x^i)/(i)! | 0≤i≤n} = λx.e^x for x ∈ (-∞, ∞)
2. n : ℕ
3. d(Σ{(x^i)/(i)! | 0≤i≤n})/dx = λx.Σ{if (i =z 0) then r0 else (x^i - 1)/(i - 1)! fi  | 0≤i≤n} on (-∞, ∞)
4. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
5. ∀[x:ℕn + 1 ⟶ ℝ]
     (Σ{x[i] | 0≤i≤n} = (Σ{x[i] | 0≤i≤0} + Σ{x[0 + i + 1] | 0≤i≤n - 0 + 1})) supposing ((0 ≤ n) and (0 ≤ 0))
⊢ (Σ{if (i =z 0) then r0 else (x^i - 1)/(i - 1)! fi  | 0≤i≤0}
+ Σ{if (0 + i + 1 =z 0) then r0 else (x^(0 + i + 1) - 1)/((0 + i + 1) - 1)! fi  | 0≤i≤n - 0 + 1})
= Σ{(x^i)/(i)! | 0≤i≤n - 1}
BY
{ ((RWO "rsum-single" 0 THENA Auto) THEN Reduce 0 THEN (nRNorm 0⋅ THENA Auto)) }

1
1. lim n→∞.Σ{(x^i)/(i)! | 0≤i≤n} = λx.e^x for x ∈ (-∞, ∞)
2. n : ℕ
3. d(Σ{(x^i)/(i)! | 0≤i≤n})/dx = λx.Σ{if (i =z 0) then r0 else (x^i - 1)/(i - 1)! fi  | 0≤i≤n} on (-∞, ∞)
4. x : {x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} 
5. ∀[x:ℕn + 1 ⟶ ℝ]
     (Σ{x[i] | 0≤i≤n} = (Σ{x[i] | 0≤i≤0} + Σ{x[0 + i + 1] | 0≤i≤n - 0 + 1})) supposing ((0 ≤ n) and (0 ≤ 0))
⊢ Σ{if (0 + i + 1 =z 0) then r0 else (x^(0 + i + 1) - 1)/((0 + i + 1) - 1)! fi  | 0≤i≤n - 1} = Σ{(x^i)/(i)! | 0≤i≤n - 1}

---

Latex:

---

Latex:

1.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.\mSigma{}\{(x\^{}i)/(i)!  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  =  \mlambda{}x.e\^{}x  for  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  d(\mSigma{}\{(x\^{}i)/(i)!  |  0\mleq{}i\mleq{}n\})/dx  =  \mlambda{}x.\mSigma{}\{if  (i  =\msubz{}  0)
then  r0
else  (x\^{}i  -  1)/(i  -  1)!
fi    |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  on  (-\minfty{},  \minfty{})
4.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (-\minfty{},  \minfty{})\} 
5.  \mforall{}[x:\mBbbN{}n  +  1  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}]
          (\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}n\}  =  (\mSigma{}\{x[i]  |  0\mleq{}i\mleq{}0\}  +  \mSigma{}\{x[0  +  i  +  1]  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  0  +  1\}))  supposing 
                ((0  \mleq{}  n)  and 
                (0  \mleq{}  0))
\mvdash{}  (\mSigma{}\{if  (i  =\msubz{}  0)  then  r0  else  (x\^{}i  -  1)/(i  -  1)!  fi    |  0\mleq{}i\mleq{}0\}
+  \mSigma{}\{if  (0  +  i  +  1  =\msubz{}  0)  then  r0  else  (x\^{}(0  +  i  +  1)  -  1)/((0  +  i  +  1)  -  1)!  fi    |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  0  +  1\})
=  \mSigma{}\{(x\^{}i)/(i)!  |  0\mleq{}i\mleq{}n  -  1\}


By

---

Latex:
((RWO  "rsum-single"  0  THENA  Auto)  THEN  Reduce  0  THEN  (nRNorm  0\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index