---

Step * 1 of Lemma ftc-integral


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
4. ∀f:{f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} . ∀g:I ⟶ℝ.
     (d(g[x])/dx = λx.f[x] on I ⇒ (∃c:ℝ. ∀x:{a:ℝ| a ∈ I} . (a_∫-x f[t] dt = (g[x] + c))))
5. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. f : {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
7. g : I ⟶ℝ
8. d(g[x])/dx = λx.f[x] on I
9. c : ℝ
10. ∀x:{a:ℝ| a ∈ I} . (a_∫-x f[t] dt = (g[x] + c))
⊢ a_∫-b f[t] dt = (g[b] - g[a])
BY
{ (Assert ⌜∀a,b:{a:ℝ| a ∈ I} .  (a_∫-b f[t] dt ∈ ℝ)⌝ BY
         ((UnivCD THENA Auto)
          THEN (Subst' a1_∫-b1 f[t] dt ~ a1_∫- f[t] dt b1 0 THENA (RepUR ``integrate`` 0 THEN Auto))
          THEN Auto
          THEN DVar `f'
          THEN MemTypeCD
          THEN RepUR ``so_apply`` 0
          THEN Auto)) }

1
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
4. ∀f:{f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} . ∀g:I ⟶ℝ.
     (d(g[x])/dx = λx.f[x] on I ⇒ (∃c:ℝ. ∀x:{a:ℝ| a ∈ I} . (a_∫-x f[t] dt = (g[x] + c))))
5. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. f : {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
7. g : I ⟶ℝ
8. d(g[x])/dx = λx.f[x] on I
9. c : ℝ
10. ∀x:{a:ℝ| a ∈ I} . (a_∫-x f[t] dt = (g[x] + c))
11. ∀a,b:{a:ℝ| a ∈ I} .  (a_∫-b f[t] dt ∈ ℝ)
⊢ a_∫-b f[t] dt = (g[b] - g[a])

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
4.  \mforall{}f:\{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))\}  .  \mforall{}g:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
          (d(g[x])/dx  =  \mlambda{}x.f[x]  on  I  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  (a\_\mint{}\msupminus{}x  f[t]  dt  =  (g[x]  +  c))))
5.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
6.  f  :  \{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))\} 
7.  g  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
8.  d(g[x])/dx  =  \mlambda{}x.f[x]  on  I
9.  c  :  \mBbbR{}
10.  \mforall{}x:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .  (a\_\mint{}\msupminus{}x  f[t]  dt  =  (g[x]  +  c))
\mvdash{}  a\_\mint{}\msupminus{}b  f[t]  dt  =  (g[b]  -  g[a])


By

---

Latex:
(Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}a,b:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    (a\_\mint{}\msupminus{}b  f[t]  dt  \mmember{}  \mBbbR{})\mkleeneclose{}  BY
              ((UnivCD  THENA  Auto)
                THEN  (Subst'  a1\_\mint{}\msupminus{}b1  f[t]  dt  \msim{}  a1\_\mint{}\msupminus{}  f[t]  dt  b1  0  THENA  (RepUR  ``integrate``  0  THEN  Auto))
                THEN  Auto
                THEN  DVar  `f'
                THEN  MemTypeCD
                THEN  RepUR  ``so\_apply``  0
                THEN  Auto))

---

Home Index