---

Step * 2 1 of Lemma fun-converges-to-derivative


1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. f' : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
5. F : I ⟶ℝ
6. G : I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[n;x] = f'[n;y]))
8. lim n→∞.f[n;x] = λy.F[y] for x ∈ I
9. lim n→∞.f'[n;x] = λy.G[y] for x ∈ I
10. ∀n:ℕ. d(f[n;x])/dx = λx.f'[n;x] on I
11. r : ℝ
12. r ∈ I
13. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (G[x] = G[y]))
14. lim n→∞.r_∫-x f'[n;t] dt = λx.r_∫-x G[t] dt for x ∈ I
15. λx.G[x] ∈ {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
16. d(r_∫-x G[t] dt)/dx = λx.G[x] on I
⊢ d(F[x])/dx = λx.G[x] on I
BY
{ Assert ⌜∃c:ℝ. rfun-eq(I;λx.F[x];λx.(r_∫-x G[t] dt + c))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. f' : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
5. F : I ⟶ℝ
6. G : I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[n;x] = f'[n;y]))
8. lim n→∞.f[n;x] = λy.F[y] for x ∈ I
9. lim n→∞.f'[n;x] = λy.G[y] for x ∈ I
10. ∀n:ℕ. d(f[n;x])/dx = λx.f'[n;x] on I
11. r : ℝ
12. r ∈ I
13. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (G[x] = G[y]))
14. lim n→∞.r_∫-x f'[n;t] dt = λx.r_∫-x G[t] dt for x ∈ I
15. λx.G[x] ∈ {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
16. d(r_∫-x G[t] dt)/dx = λx.G[x] on I
⊢ ∃c:ℝ. rfun-eq(I;λx.F[x];λx.(r_∫-x G[t] dt + c))

2
1. I : Interval
2. iproper(I)
3. f : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
4. f' : ℕ ⟶ I ⟶ℝ
5. F : I ⟶ℝ
6. G : I ⟶ℝ
7. ∀n:ℕ. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (f'[n;x] = f'[n;y]))
8. lim n→∞.f[n;x] = λy.F[y] for x ∈ I
9. lim n→∞.f'[n;x] = λy.G[y] for x ∈ I
10. ∀n:ℕ. d(f[n;x])/dx = λx.f'[n;x] on I
11. r : ℝ
12. r ∈ I
13. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (G[x] = G[y]))
14. lim n→∞.r_∫-x f'[n;t] dt = λx.r_∫-x G[t] dt for x ∈ I
15. λx.G[x] ∈ {f:I ⟶ℝ| ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ ((f x) = (f y)))} 
16. d(r_∫-x G[t] dt)/dx = λx.G[x] on I
17. ∃c:ℝ. rfun-eq(I;λx.F[x];λx.(r_∫-x G[t] dt + c))
⊢ d(F[x])/dx = λx.G[x] on I

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  iproper(I)
3.  f  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  F  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  G  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[n;x]  =  f'[n;y]))
8.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f[n;x]  =  \mlambda{}y.F[y]  for  x  \mmember{}  I
9.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f'[n;x]  =  \mlambda{}y.G[y]  for  x  \mmember{}  I
10.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  d(f[n;x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[n;x]  on  I
11.  r  :  \mBbbR{}
12.  r  \mmember{}  I
13.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (G[x]  =  G[y]))
14.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.r\_\mint{}\msupminus{}x  f'[n;t]  dt  =  \mlambda{}x.r\_\mint{}\msupminus{}x  G[t]  dt  for  x  \mmember{}  I
15.  \mlambda{}x.G[x]  \mmember{}  \{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  (f  y)))\} 
16.  d(r\_\mint{}\msupminus{}x  G[t]  dt)/dx  =  \mlambda{}x.G[x]  on  I
\mvdash{}  d(F[x])/dx  =  \mlambda{}x.G[x]  on  I


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}c:\mBbbR{}.  rfun-eq(I;\mlambda{}x.F[x];\mlambda{}x.(r\_\mint{}\msupminus{}x  G[t]  dt  +  c))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index