---

Step * of Lemma general-partition-sum-from-bound

∀I:Interval
  (icompact(I)
  ⇒ (∀f:{f:I ⟶ℝ| ifun(f;I)} . ∀b:{b:ℝ| (r0 ≤ b) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (|f x| ≤ b)))} . ∀e:{e:ℝ| r0 < e} .
        ∃d:{d:ℝ| r0 < d} 
         ∀p,q:{p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)).
         ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
           (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ e)))
BY
{ (Auto
   THEN (InstLemma `partition-sum-bound-no-mc` [⌜I⌝;⌜f⌝;⌜b⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (InstLemma `rless-cases` [⌜r0⌝;⌜e⌝;⌜(b + b) * |I|⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN D -1) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : {f:I ⟶ℝ| ifun(f;I)} 
4. b : {b:ℝ| (r0 ≤ b) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (|f x| ≤ b)))} 
5. e : {e:ℝ| r0 < e} 
6. ∀p:partition(I). ∀y:partition-choice(full-partition(I;p)).  (|S(f;full-partition(I;p))| ≤ (b * |I|))
7. r0 < ((b + b) * |I|)
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} 
   ∀p,q:{p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
     (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ e)

2
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : {f:I ⟶ℝ| ifun(f;I)} 
4. b : {b:ℝ| (r0 ≤ b) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (|f x| ≤ b)))} 
5. e : {e:ℝ| r0 < e} 
6. ∀p:partition(I). ∀y:partition-choice(full-partition(I;p)).  (|S(f;full-partition(I;p))| ≤ (b * |I|))
7. ((b + b) * |I|) < e
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} 
   ∀p,q:{p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
     (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ e)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I:Interval
    (icompact(I)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;I)\}  .  \mforall{}b:\{b:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  b)  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (|f  x|  \mleq{}  b)))\}  .  \mforall{}e:\{e:\mBbbR{}| 
                                                                                                                                                                                    r0  <  e\}  .
                \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
                  \mforall{}p,q:\{p:partition(I)|  partition-mesh(I;p)  \mleq{}  d\}  .  \mforall{}x:partition-choice(full-partition(I;p)).
                  \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;q)).
                      (|S(f;full-partition(I;q))  -  S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  e)))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (InstLemma  `partition-sum-bound-no-mc`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `rless-cases`  [\mkleeneopen{}r0\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}(b  +  b)  *  |I|\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1)

---

Home Index