---

Step * 2 of Lemma general-partition-sum-from-bound


1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : {f:I ⟶ℝ| ifun(f;I)} 
4. b : {b:ℝ| (r0 ≤ b) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (|f x| ≤ b)))} 
5. e : {e:ℝ| r0 < e} 
6. ∀p:partition(I). ∀y:partition-choice(full-partition(I;p)).  (|S(f;full-partition(I;p))| ≤ (b * |I|))
7. ((b + b) * |I|) < e
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} 
   ∀p,q:{p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
     (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ e)
BY
{ ((D 0 With ⌜r1⌝  THEN Auto)
   THEN (RWO "-5<" 0 THENA Auto)
   THEN (Assert |S(f;full-partition(I;q)) - r0| ≤ (b * |I|) BY
               ((Assert (S(f;full-partition(I;q)) - r0) = S(f;full-partition(I;q)) BY
                       (nRNorm 0 THEN Auto))
                THEN RWO  "-1" 0
                THEN Auto))
   THEN (Assert |r0 - S(f;full-partition(I;p))| ≤ (b * |I|) BY
               ((Assert |r0 - S(f;full-partition(I;p))| = |S(f;full-partition(I;p))| BY
                       (nRNorm 0 THEN Auto THEN RWO "rabs-rminus" 0 THEN Auto))
                THEN RWO  "-1" 0
                THEN Auto))) }

1
1. I : Interval
2. icompact(I)
3. f : {f:I ⟶ℝ| ifun(f;I)} 
4. b : {b:ℝ| (r0 ≤ b) ∧ (∀x:ℝ. ((x ∈ I) ⇒ (|f x| ≤ b)))} 
5. e : {e:ℝ| r0 < e} 
6. ∀p:partition(I). ∀y:partition-choice(full-partition(I;p)).  (|S(f;full-partition(I;p))| ≤ (b * |I|))
7. ((b + b) * |I|) < e
8. p : {p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ r1} 
9. q : {p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ r1} 
10. x : partition-choice(full-partition(I;p))
11. y : partition-choice(full-partition(I;q))
12. |S(f;full-partition(I;q)) - r0| ≤ (b * |I|)
13. |r0 - S(f;full-partition(I;p))| ≤ (b * |I|)
⊢ |S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ ((b + b) * |I|)

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  icompact(I)
3.  f  :  \{f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}|  ifun(f;I)\} 
4.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  b)  \mwedge{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (|f  x|  \mleq{}  b)))\} 
5.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
6.  \mforall{}p:partition(I).  \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;p)).
          (|S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  (b  *  |I|))
7.  ((b  +  b)  *  |I|)  <  e
\mvdash{}  \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
      \mforall{}p,q:\{p:partition(I)|  partition-mesh(I;p)  \mleq{}  d\}  .  \mforall{}x:partition-choice(full-partition(I;p)).
      \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;q)).
          (|S(f;full-partition(I;q))  -  S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  e)


By

---

Latex:
((D  0  With  \mkleeneopen{}r1\mkleeneclose{}    THEN  Auto)
  THEN  (RWO  "-5<"  0  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  |S(f;full-partition(I;q))  -  r0|  \mleq{}  (b  *  |I|)  BY
                          ((Assert  (S(f;full-partition(I;q))  -  r0)  =  S(f;full-partition(I;q))  BY
                                          (nRNorm  0  THEN  Auto))
                            THEN  RWO    "-1"  0
                            THEN  Auto))
  THEN  (Assert  |r0  -  S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  (b  *  |I|)  BY
                          ((Assert  |r0  -  S(f;full-partition(I;p))|  =  |S(f;full-partition(I;p))|  BY
                                          (nRNorm  0  THEN  Auto  THEN  RWO  "rabs-rminus"  0  THEN  Auto))
                            THEN  RWO    "-1"  0
                            THEN  Auto)))

---

Home Index