---

Step * 1 1 of Lemma general-partition-sum


1. I : Interval@i
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
5. e : {e:ℝ| r0 < e} @i
6. r0 < (e/r(2))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < (e/r(2))
9. (mc 1 k) = (mc 1 k) ∈ ℝ
10. [%13] : (r0 < (mc 1 k)) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ (mc 1 k)) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k)))))
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} 
   ∀p,q:{p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
     (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ (e * |I|))
BY
{ ((Assert (r0 < (mc 1 k)) ∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ (mc 1 k)) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))))) BY
          (Unhide THEN Auto))
   THEN Thin (-2)
   THEN D -1
   THEN (Assert ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ (mc 1 k)) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (e/r(2)))) BY
               (RepeatFor 5 (ParallelLast) THEN RWO  "-1" 0 THEN Auto))) }

1
1. I : Interval@i
2. icompact(I)
3. f : I ⟶ℝ@i
4. mc : f[x] continuous for x ∈ I@i
5. e : {e:ℝ| r0 < e} @i
6. r0 < (e/r(2))
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < (e/r(2))
9. (mc 1 k) = (mc 1 k) ∈ ℝ
10. r0 < (mc 1 k)
11. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ (mc 1 k)) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))))
12. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ (mc 1 k)) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (e/r(2))))
⊢ ∃d:{d:ℝ| r0 < d} 
   ∀p,q:{p:partition(I)| partition-mesh(I;p) ≤ d} . ∀x:partition-choice(full-partition(I;p)).
   ∀y:partition-choice(full-partition(I;q)).
     (|S(f;full-partition(I;q)) - S(f;full-partition(I;p))| ≤ (e * |I|))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval@i
2.  icompact(I)
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
4.  mc  :  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I@i
5.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\}  @i
6.  r0  <  (e/r(2))
7.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  (r1/r(k))  <  (e/r(2))
9.  (mc  1  k)  =  (mc  1  k)
10.  [\%13]  :  (r0  <  (mc  1  k))
\mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  (mc  1  k))  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(k)))))
\mvdash{}  \mexists{}d:\{d:\mBbbR{}|  r0  <  d\} 
      \mforall{}p,q:\{p:partition(I)|  partition-mesh(I;p)  \mleq{}  d\}  .  \mforall{}x:partition-choice(full-partition(I;p)).
      \mforall{}y:partition-choice(full-partition(I;q)).
          (|S(f;full-partition(I;q))  -  S(f;full-partition(I;p))|  \mleq{}  (e  *  |I|))


By

---

Latex:
((Assert  (r0  <  (mc  1  k))
                \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  (mc  1  k))  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(k)))))  BY
                (Unhide  THEN  Auto))
  THEN  Thin  (-2)
  THEN  D  -1
  THEN  (Assert  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  (mc  1  k))  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (e/r(2))))  BY
                          (RepeatFor  5  (ParallelLast)  THEN  RWO    "-1"  0  THEN  Auto)))

---

Home Index