---

Step * 1 1 of Lemma increasing-sequence-converges

.....assertion..... 
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀n:ℕ. ((x n) < (x (n + 1)))
3. c : {2...}
4. m : ℕ+
5. ∀n:ℕ+. (((x (n + 1)) - x n) ≤ ((r1/r(c)) * ((x n) - x (n - 1))))
6. (r(c) * ((x 1) - x 0)/r(c - 1)) ≤ (r1/r(m))
⊢ ∀n:ℕ+. (((x (n + 1)) - x n) ≤ ((r1/r(c^n)) * ((x 1) - x 0)))
BY
{ InductionOnNat }

1
.....basecase..... 
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀n:ℕ. ((x n) < (x (n + 1)))
3. c : {2...}
4. m : ℕ+
5. ∀n:ℕ+. (((x (n + 1)) - x n) ≤ ((r1/r(c)) * ((x n) - x (n - 1))))
6. (r(c) * ((x 1) - x 0)/r(c - 1)) ≤ (r1/r(m))
7. n : ℕ+
⊢ ((x (1 + 1)) - x 1) ≤ ((r1/r(c^1)) * ((x 1) - x 0))

2
.....upcase..... 
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀n:ℕ. ((x n) < (x (n + 1)))
3. c : {2...}
4. m : ℕ+
5. ∀n:ℕ+. (((x (n + 1)) - x n) ≤ ((r1/r(c)) * ((x n) - x (n - 1))))
6. (r(c) * ((x 1) - x 0)/r(c - 1)) ≤ (r1/r(m))
7. n : ℤ
8. 0 < n
9. ((x (n + 1)) - x n) ≤ ((r1/r(c^n)) * ((x 1) - x 0))
⊢ ((x ((n + 1) + 1)) - x (n + 1)) ≤ ((r1/r(c^n + 1)) * ((x 1) - x 0))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((x  n)  <  (x  (n  +  1)))
3.  c  :  \{2...\}
4.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (((x  (n  +  1))  -  x  n)  \mleq{}  ((r1/r(c))  *  ((x  n)  -  x  (n  -  1))))
6.  (r(c)  *  ((x  1)  -  x  0)/r(c  -  1))  \mleq{}  (r1/r(m))
\mvdash{}  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (((x  (n  +  1))  -  x  n)  \mleq{}  ((r1/r(c\^{}n))  *  ((x  1)  -  x  0)))


By

---

Latex:
InductionOnNat

---

Home Index