---

Step * 1 2 1 1 2 2 of Lemma increasing-sequence-converges


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀n:ℕ. ((x n) < (x (n + 1)))
3. c : {2...}
4. M : ℕ+
5. v : ℝ
6. (r(c) * v/r(c - 1)) ≤ (r1/r(M))
7. ∀n:ℕ+. (((x (n + 1)) - x n) ≤ ((r1/r(c^n)) * v))
8. r0 < v
9. d : ℤ
10. 0 < d
11. ∀n,m:ℕ+.  (|n - m| < d - 1 ⇒ (|(x n) - x m| ≤ (r(c) * v/r((c - 1) * c^imin(n;m)))))
12. n : ℕ+
13. m : ℕ+
14. |n - m| < d
15. ¬n < m
⊢ |(x n) - x m| ≤ (r(c) * v/r((c - 1) * c^imin(n;m)))
BY
{ ((RWO "rabs-difference-symmetry" 0 THENA Auto)
   THEN (Subst' imin(n;m) ~ m 0 THENA ((RWO "imin_unfold" 0 THENA Auto) THEN AutoSplit))
   THEN SwapVars `n' `m'
   THEN (Decide ⌜n < m⌝⋅ THENA Auto)) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀n:ℕ. ((x n) < (x (n + 1)))
3. c : {2...}
4. M : ℕ+
5. v : ℝ
6. (r(c) * v/r(c - 1)) ≤ (r1/r(M))
7. ∀n:ℕ+. (((x (n + 1)) - x n) ≤ ((r1/r(c^n)) * v))
8. r0 < v
9. d : ℤ
10. 0 < d
11. ∀n,m:ℕ+.  (|n - m| < d - 1 ⇒ (|(x n) - x m| ≤ (r(c) * v/r((c - 1) * c^imin(n;m)))))
12. m : ℕ+
13. n : ℕ+
14. |m - n| < d
15. ¬m < n
16. n < m
⊢ |(x n) - x m| ≤ (r(c) * v/r((c - 1) * c^n))

2
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. ∀n:ℕ. ((x n) < (x (n + 1)))
3. c : {2...}
4. M : ℕ+
5. v : ℝ
6. (r(c) * v/r(c - 1)) ≤ (r1/r(M))
7. ∀n:ℕ+. (((x (n + 1)) - x n) ≤ ((r1/r(c^n)) * v))
8. r0 < v
9. d : ℤ
10. 0 < d
11. ∀n,m:ℕ+.  (|n - m| < d - 1 ⇒ (|(x n) - x m| ≤ (r(c) * v/r((c - 1) * c^imin(n;m)))))
12. m : ℕ+
13. n : ℕ+
14. |m - n| < d
15. ¬m < n
16. ¬n < m
⊢ |(x n) - x m| ≤ (r(c) * v/r((c - 1) * c^n))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  ((x  n)  <  (x  (n  +  1)))
3.  c  :  \{2...\}
4.  M  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  v  :  \mBbbR{}
6.  (r(c)  *  v/r(c  -  1))  \mleq{}  (r1/r(M))
7.  \mforall{}n:\mBbbN{}\msupplus{}.  (((x  (n  +  1))  -  x  n)  \mleq{}  ((r1/r(c\^{}n))  *  v))
8.  r0  <  v
9.  d  :  \mBbbZ{}
10.  0  <  d
11.  \mforall{}n,m:\mBbbN{}\msupplus{}.    (|n  -  m|  <  d  -  1  {}\mRightarrow{}  (|(x  n)  -  x  m|  \mleq{}  (r(c)  *  v/r((c  -  1)  *  c\^{}imin(n;m)))))
12.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
13.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
14.  |n  -  m|  <  d
15.  \mneg{}n  <  m
\mvdash{}  |(x  n)  -  x  m|  \mleq{}  (r(c)  *  v/r((c  -  1)  *  c\^{}imin(n;m)))


By

---

Latex:
((RWO  "rabs-difference-symmetry"  0  THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  imin(n;m)  \msim{}  m  0  THENA  ((RWO  "imin\_unfold"  0  THENA  Auto)  THEN  AutoSplit))
  THEN  SwapVars  `n'  `m'
  THEN  (Decide  \mkleeneopen{}n  <  m\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto))

---

Home Index